największa liczba,równość

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
anorian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 8 lip 2008, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

największa liczba,równość

Post autor: anorian »

Jaka jest największa liczba\(\displaystyle{ c}\), którą można jednoznacznie przedstawić w postaci\(\displaystyle{ c=28x+37y}\) dla pewnych naturalnych liczb \(\displaystyle{ x}\)i \(\displaystyle{ y}\)?
Za bardzo to nawet nie wiem o co w tym chodzi...
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

największa liczba,równość

Post autor: Rogal »

Nie ma takiej liczby.
Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

największa liczba,równość

Post autor: XMaS11 »

Innymi słowy, masz znaleźć największą liczbę \(\displaystyle{ c}\), że równanie:
\(\displaystyle{ 28x+37y=c}\) ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\)
anorian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 8 lip 2008, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

największa liczba,równość

Post autor: anorian »

Hmm... no to dla c=65 mamy jedno rozwiązanie (1,1) Czy źle myślę? Wie ktoś, jak to zrobić?
Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

największa liczba,równość

Post autor: XMaS11 »

Owszem, a dla \(\displaystyle{ c=28\cdot37}\) są dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ (37,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,28)}\).
Warto też zauważyć, że taka liczba istnieje i z pewnością jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 2 \cdot 28 \cdot 37}\). Rzeczywiście, załóżmy że \(\displaystyle{ c>2 \cdot 28 \cdot 37}\). Załóżmy też, że można przedstawić liczbę \(\displaystyle{ c}\) w żądany sposób.
Mamy więc
\(\displaystyle{ c=28x+37y}\) dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\)
Z drugiej jednak strony:
\(\displaystyle{ 28x+37y=28(x-37)+37(y+28)\\
28x+37y=28(x+37)+37(y-28)}\)

Z kolei ze względu na wielkość \(\displaystyle{ c}\) co najmniej jedna z par liczb:
\(\displaystyle{ (x-37,y+28),(x+37,y-28)}\) jest parą liczb naturalnych, zatem sposób przedstawienia NIE JEST jednoznaczny.
ODPOWIEDZ