rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej
- kluczyk
- Użytkownik
- Posty: 441
- Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 77 razy
- Pomógł: 12 razy
rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej
Udowodnić,że część ułamkowa rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ (5+ \sqrt{26})^{n}}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ n}\) jednakowych cyfr.
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej
Zareklamuję taki trik:
Fakt: \(\displaystyle{ \left(5+\sqrt{26}\right)^n+\left(5-\sqrt{26}\right)^n \in \mathbb{Z}}\)
Inaczej mówiąc, suma tych dwóch potęg jest liczbą całkowitą.
Dalej \(\displaystyle{ -1 < 5-\sqrt{26} < 1}\). Zatem \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) jest właśnie częścią ułamkową.
Dokładniej mówiąc, w zależności od znaku \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) lub \(\displaystyle{ 1+\left(5-\sqrt{26}\right)^n}\).
Tak czy inaczej wystarczy pokazać że
\(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) to ułamek o \(\displaystyle{ n}\) jednakowych początkowych cyfrach.
Ale to wynika z \(\displaystyle{ \left|5-\sqrt{26}\right| < \frac{1}{10}}\).
Innymi słowy \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) zer po przecinku.
Część ułamkowa ma zatem \(\displaystyle{ n}\) zer lub \(\displaystyle{ n}\) dziewiątek.
Jeśli chodzi o sumę tych potęg, to widać to z rozwinięcia dwumianowego.
Można to też chyba zrobić w bardziej uczony sposób przez pokazanie że sprzężenie jest automorfizmem w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left[\sqrt{26}\right]}\).
Fakt: \(\displaystyle{ \left(5+\sqrt{26}\right)^n+\left(5-\sqrt{26}\right)^n \in \mathbb{Z}}\)
Inaczej mówiąc, suma tych dwóch potęg jest liczbą całkowitą.
Dalej \(\displaystyle{ -1 < 5-\sqrt{26} < 1}\). Zatem \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) jest właśnie częścią ułamkową.
Dokładniej mówiąc, w zależności od znaku \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) lub \(\displaystyle{ 1+\left(5-\sqrt{26}\right)^n}\).
Tak czy inaczej wystarczy pokazać że
\(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) to ułamek o \(\displaystyle{ n}\) jednakowych początkowych cyfrach.
Ale to wynika z \(\displaystyle{ \left|5-\sqrt{26}\right| < \frac{1}{10}}\).
Innymi słowy \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) zer po przecinku.
Część ułamkowa ma zatem \(\displaystyle{ n}\) zer lub \(\displaystyle{ n}\) dziewiątek.
Jeśli chodzi o sumę tych potęg, to widać to z rozwinięcia dwumianowego.
Można to też chyba zrobić w bardziej uczony sposób przez pokazanie że sprzężenie jest automorfizmem w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left[\sqrt{26}\right]}\).