rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej

Post autor: kluczyk »

Udowodnić,że część ułamkowa rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ (5+ \sqrt{26})^{n}}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ n}\) jednakowych cyfr.
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

rozwiniecie dziesietne czesci ułamkowej

Post autor: Maciej87 »

Zareklamuję taki trik:
Fakt: \(\displaystyle{ \left(5+\sqrt{26}\right)^n+\left(5-\sqrt{26}\right)^n \in \mathbb{Z}}\)
Inaczej mówiąc, suma tych dwóch potęg jest liczbą całkowitą.
Dalej \(\displaystyle{ -1 < 5-\sqrt{26} < 1}\). Zatem \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) jest właśnie częścią ułamkową.
Dokładniej mówiąc, w zależności od znaku \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) lub \(\displaystyle{ 1+\left(5-\sqrt{26}\right)^n}\).
Tak czy inaczej wystarczy pokazać że
\(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) to ułamek o \(\displaystyle{ n}\) jednakowych początkowych cyfrach.
Ale to wynika z \(\displaystyle{ \left|5-\sqrt{26}\right| < \frac{1}{10}}\).
Innymi słowy \(\displaystyle{ \left(5-\sqrt{26}\right)^n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) zer po przecinku.
Część ułamkowa ma zatem \(\displaystyle{ n}\) zer lub \(\displaystyle{ n}\) dziewiątek.

Jeśli chodzi o sumę tych potęg, to widać to z rozwinięcia dwumianowego.
Można to też chyba zrobić w bardziej uczony sposób przez pokazanie że sprzężenie jest automorfizmem w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left[\sqrt{26}\right]}\).
ODPOWIEDZ