Wykazać, że dowolny dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ x ^{4} -x ^{2} +1, x \in Z}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 12}\).
Wskazówka \(\displaystyle{ \frac{1}{4}[(2x ^{2}-1) ^{2}+3]=(x ^{2}-1) ^{2}+x ^{2}}\)
dowolny dzielnik pierwszy liczby
-
wiosna
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 2 maja 2008, o 14:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 1 raz
dowolny dzielnik pierwszy liczby
Ostatnio zmieniony 15 lut 2009, o 16:48 przez Szemek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwach tematów.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwach tematów.
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
dowolny dzielnik pierwszy liczby
\(\displaystyle{ x ^{4} -x ^{2} +1\equiv 0 \mod p}\) i ze wskazówki
\(\displaystyle{ \left(2x^2-1\right)^2 \equiv -3 \mod p}\).
Zatem \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową.
Jednocześnie \(\displaystyle{ \left(x^2+1\right)\left(x ^{4} -x ^{2} +1\right) = \left(x^3\right)^2+1\equiv 0 \mod p}\).
Dlatego \(\displaystyle{ -1}\) jest resztą kwadratową.
Sprawdzamy oba warunki
.
i dostajemy \(\displaystyle{ p=12k+1}\)
\(\displaystyle{ \left(2x^2-1\right)^2 \equiv -3 \mod p}\).
Zatem \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową.
Jednocześnie \(\displaystyle{ \left(x^2+1\right)\left(x ^{4} -x ^{2} +1\right) = \left(x^3\right)^2+1\equiv 0 \mod p}\).
Dlatego \(\displaystyle{ -1}\) jest resztą kwadratową.
Sprawdzamy oba warunki
.
i dostajemy \(\displaystyle{ p=12k+1}\)