podzielność i ciąg

[wiosna]

Ciąg \(\displaystyle{ (a _{n} )}\) zdefiniowany jest następująco
\(\displaystyle{ a _{1} =1,a _{2}=2,a _{n+1}=3a _{n}+5a _{n-1}}\)
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ n>1}\) takie, że \(\displaystyle{ a _{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ a _{n+1}*a _{n+2}}\)

[Maciej87]

Spróbuj może zacząć tak (nie wprost)
Wyrazy ciągu nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 5,3}\). \(\displaystyle{ NWD\left(a_n,a_{n+1}\right)=NWD\left(a_n,a_{n-1}\right)=\ldots=1}\).
Zatem \(\displaystyle{ a_n | a_{n+2}}\).
Zatem \(\displaystyle{ a_n | 3a_{n+1}}\).
Zatem \(\displaystyle{ a_n | 3}\).