Znaleźć liczbę trzycyfrową wiedząc, że iloraz z dzielenia tej liczby przez sumę jej cyfr jest równy 48, a różnica szukanej liczby i liczby napisanej tymi samymi cyframi, ale w odwrotnym porządku wynosi 198.
Mógłby ktoś przedstawić rozwiązanie tego zadania za pomocą równania diofantycznego? Wiem, że da się też trochę inną metodą, ale tak byłoby chyba najładniej i jakby dało radę to prosiłbym o pokazanie
Równanie diofantyczne.
- ymar
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 13 sie 2005, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 24 razy
Równanie diofantyczne.
chętnie bym pomyślał, bo nie mam tego za bardzo opanowanego, ale nie mam czasu, niestety - musze grac w liero proponuję z układu dwóch równań z trzema niewiadommi zrobić jedno z dwoma podstawieniem, a potem skorzystać z
coś tam wyjdzie i dalej pokombinować. Mam nadzieję, że coś pomogłem, bo byłby to już któryś bezsensowny post w moim wykonaniu
coś tam wyjdzie i dalej pokombinować. Mam nadzieję, że coś pomogłem, bo byłby to już któryś bezsensowny post w moim wykonaniu
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Równanie diofantyczne.
Przyjmijmy następujące założenie:
\(\displaystyle{ x,y,z\in }\) i są to liczby całkowite
Mamy następujący układ równań
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}{\frac{100x+10y+z}{x+y+z}}=48\\100x+10y+z-(100z+10y+x)=198\end{array}\right.}\)
Najpierw przekształcamy to dolne równanie:
\(\displaystyle{ 100x+10y+z-100z-10y-x=198\\99x-99z=198\\x-z=2\\x=z+2}\)
A następnie górne (można odwrotnie, ale ja wolę tak )
\(\displaystyle{ \frac{100x+10y+z}{x+y+z}=48\\100x+10y+z=48x+48y+48z\\52x=38y+47z}\)
I podstawiamy w miejce \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ z+2}\)
\(\displaystyle{ 104+52z=38y+47z\\5z=38y-104\\z=\frac{38y-104}{5}}\)
Czyli cyfrą jedności wyrażenia \(\displaystyle{ 38y-104}\) musi być \(\displaystyle{ 0 \, \, 5 }\) cyfrą jedności 38y musi być \(\displaystyle{ 4 \, \, 9}\). Druga opcja jest niemożliwa dla liczb całkowitych.
\(\displaystyle{ 38y}\) kończy się cyfrą \(\displaystyle{ 4 y=3 \, \, y=8}\). Dla \(\displaystyle{ y=8\rightarrow z=40}\), a to nie jest zgodne z założeniem. Pozostaje więc \(\displaystyle{ y=3}\).
Wyliczamy pozostałe niewiadome i otrzymujemy \(\displaystyle{ x=4, y=3, z=2}\)
Jak się w czymś pomyliłem, to proszę mnie poprawić
\(\displaystyle{ x,y,z\in }\) i są to liczby całkowite
Mamy następujący układ równań
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}{\frac{100x+10y+z}{x+y+z}}=48\\100x+10y+z-(100z+10y+x)=198\end{array}\right.}\)
Najpierw przekształcamy to dolne równanie:
\(\displaystyle{ 100x+10y+z-100z-10y-x=198\\99x-99z=198\\x-z=2\\x=z+2}\)
A następnie górne (można odwrotnie, ale ja wolę tak )
\(\displaystyle{ \frac{100x+10y+z}{x+y+z}=48\\100x+10y+z=48x+48y+48z\\52x=38y+47z}\)
I podstawiamy w miejce \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ z+2}\)
\(\displaystyle{ 104+52z=38y+47z\\5z=38y-104\\z=\frac{38y-104}{5}}\)
Czyli cyfrą jedności wyrażenia \(\displaystyle{ 38y-104}\) musi być \(\displaystyle{ 0 \, \, 5 }\) cyfrą jedności 38y musi być \(\displaystyle{ 4 \, \, 9}\). Druga opcja jest niemożliwa dla liczb całkowitych.
\(\displaystyle{ 38y}\) kończy się cyfrą \(\displaystyle{ 4 y=3 \, \, y=8}\). Dla \(\displaystyle{ y=8\rightarrow z=40}\), a to nie jest zgodne z założeniem. Pozostaje więc \(\displaystyle{ y=3}\).
Wyliczamy pozostałe niewiadome i otrzymujemy \(\displaystyle{ x=4, y=3, z=2}\)
Jak się w czymś pomyliłem, to proszę mnie poprawić
-
- Użytkownik
- Posty: 256
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocek
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 9 razy
Równanie diofantyczne.
Lorek, tak też zrobiłem, ale miałem nadzieję, iż można to zrobić w inny sposób, który kiedyś widziałem, ale go nie pamiętam, a nie mogę dopchać się do tamtego źródła. Jakby ktoś znał tamten i pokazał jak to rozwiązać w tym przypadku byłoby fajnie.
Ale dzięki i za ten post
Ale dzięki i za ten post
Ostatnio zmieniony 18 paź 2007, o 20:51 przez Finarfin, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Równanie diofantyczne.
Istnieje wiele metod rozwiązywania takich równań diofantycznych (zajrzałeś na stronę, do której link dał ymar?). Może napiszesz cokolwiek o sposobie, który widziałeś? Będzie nam łatwiej...
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
-
- Użytkownik
- Posty: 256
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocek
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 9 razy
Równanie diofantyczne.
Tomasz Rużycki, zajrzałem oczywiście na stronę i sposobem porównania dochodzę do wniosku, iż miałem na myśli tę metodę z zastosowaniem algorytmu euklidesa. Wydaje mi się, że tamten sposób jest po prostu "najładniejszy". I o ten sposób mi chodziło
[ Dodano: Sro Sty 18, 2006 1:51 am ]
Zrobiłem zadanie tak ->
Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).
Z góry dziękuję
[ Dodano: Sro Sty 18, 2006 1:51 am ]
Zrobiłem zadanie tak ->
Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).
Z góry dziękuję