Równanie diofantyczne.

[Finarfin]

Znaleźć liczbę trzycyfrową wiedząc, że iloraz z dzielenia tej liczby przez sumę jej cyfr jest równy 48, a różnica szukanej liczby i liczby napisanej tymi samymi cyframi, ale w odwrotnym porządku wynosi 198.

Mógłby ktoś przedstawić rozwiązanie tego zadania za pomocą równania diofantycznego? Wiem, że da się też trochę inną metodą, ale tak byłoby chyba najładniej i jakby dało radę to prosiłbym o pokazanie

[ymar]

chętnie bym pomyślał, bo nie mam tego za bardzo opanowanego, ale nie mam czasu, niestety - musze grac w liero proponuję z układu dwóch równań z trzema niewiadommi zrobić jedno z dwoma podstawieniem, a potem skorzystać z
coś tam wyjdzie i dalej pokombinować. Mam nadzieję, że coś pomogłem, bo byłby to już któryś bezsensowny post w moim wykonaniu

[Lorek]

Przyjmijmy następujące założenie:
\(\displaystyle{ x,y,z\in }\) i są to liczby całkowite
Mamy następujący układ równań

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}{\frac{100x+10y+z}{x+y+z}}=48\\100x+10y+z-(100z+10y+x)=198\end{array}\right.}\)

Najpierw przekształcamy to dolne równanie:

\(\displaystyle{ 100x+10y+z-100z-10y-x=198\\99x-99z=198\\x-z=2\\x=z+2}\)

A następnie górne (można odwrotnie, ale ja wolę tak )

\(\displaystyle{ \frac{100x+10y+z}{x+y+z}=48\\100x+10y+z=48x+48y+48z\\52x=38y+47z}\)

I podstawiamy w miejce \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ z+2}\)

\(\displaystyle{ 104+52z=38y+47z\\5z=38y-104\\z=\frac{38y-104}{5}}\)

Czyli cyfrą jedności wyrażenia \(\displaystyle{ 38y-104}\) musi być \(\displaystyle{ 0 \, \, 5 }\) cyfrą jedności 38y musi być \(\displaystyle{ 4 \, \, 9}\). Druga opcja jest niemożliwa dla liczb całkowitych.

\(\displaystyle{ 38y}\) kończy się cyfrą \(\displaystyle{ 4 y=3 \, \, y=8}\). Dla \(\displaystyle{ y=8\rightarrow z=40}\), a to nie jest zgodne z założeniem. Pozostaje więc \(\displaystyle{ y=3}\).

Wyliczamy pozostałe niewiadome i otrzymujemy \(\displaystyle{ x=4, y=3, z=2}\)

Jak się w czymś pomyliłem, to proszę mnie poprawić

[Finarfin]

Lorek, tak też zrobiłem, ale miałem nadzieję, iż można to zrobić w inny sposób, który kiedyś widziałem, ale go nie pamiętam, a nie mogę dopchać się do tamtego źródła. Jakby ktoś znał tamten i pokazał jak to rozwiązać w tym przypadku byłoby fajnie.

Ale dzięki i za ten post

[Tomasz Rużycki]

Istnieje wiele metod rozwiązywania takich równań diofantycznych (zajrzałeś na stronę, do której link dał ymar?). Może napiszesz cokolwiek o sposobie, który widziałeś? Będzie nam łatwiej...


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Finarfin]

Tomasz Rużycki, zajrzałem oczywiście na stronę i sposobem porównania dochodzę do wniosku, iż miałem na myśli tę metodę z zastosowaniem algorytmu euklidesa. Wydaje mi się, że tamten sposób jest po prostu "najładniejszy". I o ten sposób mi chodziło

[ Dodano: Sro Sty 18, 2006 1:51 am ]
Zrobiłem zadanie tak ->



Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).

Z góry dziękuję