Wykaż, że w ciągu arytmetycznym\(\displaystyle{ 4k-1}\) występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Trzeba zauważyć, że iloczyn liczb postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) jest liczbą postaci\(\displaystyle{ 4k+1}\), zatem wśród dzielników pierwszych liczby postaci \(\displaystyle{ 4k-1}\) musi być choć jedna postaci\(\displaystyle{ 4k-1}\).Potem trzeba naśladować dowód tw Euklidesa.
Mógłby ktoś to napisać jaśniej?
liczby pierwsze i ciąg arytmetyczny
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
liczby pierwsze i ciąg arytmetyczny
Najpierw zauważmy, że jeśli
\(\displaystyle{ a\equiv 1\pmod{4}\\
b\equiv 1\pmod{4},}\)
to oczywiście \(\displaystyle{ ab \equiv 1\pmod{4}}\)
czyli jeśli \(\displaystyle{ 4k_{0} - 1 = p_{1}\cdot \ldots\cdot p_{n}}\) jest rozkładem na czynniki pierwsze, to istnieje takie \(\displaystyle{ i,}\) że \(\displaystyle{ p_{i} = 4n - 1}\) bo inaczej każda liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) byłaby postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\) (bo musi być nieparzysta) i byłoby \(\displaystyle{ 4k_{0} - 1 = 4m + 1,}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) a tak być nie może, bo liczby te dają różne reszty przy dzieleniu przez 4.
Zauważmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ a\equiv -1\pmod{4},}\) to \(\displaystyle{ a^{2}\equiv 1\pmod{4}.}\)
Teraz przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ 4k_{1} - 1, \ldots, 4k_{l} - 1}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi postaci \(\displaystyle{ 4k - 1.}\) Połóżmy:
\(\displaystyle{ a = (4 k_{1} - 1)^{2}\cdot (4 k_{2} - 1)^{2}\cdot \ldots \cdot (4k_{l} - 1)^{2} -2}\)
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną postaci \(\displaystyle{ 4k - 1,}\) więc ma dzielnik pierwszy tej postaci. Ale jest ona względnie pierwsza z każdą z liczb \(\displaystyle{ 4k_{1} - 1, \ldots, 4k_{l} - 1,}\) czyli z wszystkimi liczbami pierwszymi tej postaci - sprzeczność.
\(\displaystyle{ a\equiv 1\pmod{4}\\
b\equiv 1\pmod{4},}\)
to oczywiście \(\displaystyle{ ab \equiv 1\pmod{4}}\)
czyli jeśli \(\displaystyle{ 4k_{0} - 1 = p_{1}\cdot \ldots\cdot p_{n}}\) jest rozkładem na czynniki pierwsze, to istnieje takie \(\displaystyle{ i,}\) że \(\displaystyle{ p_{i} = 4n - 1}\) bo inaczej każda liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) byłaby postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\) (bo musi być nieparzysta) i byłoby \(\displaystyle{ 4k_{0} - 1 = 4m + 1,}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) a tak być nie może, bo liczby te dają różne reszty przy dzieleniu przez 4.
Zauważmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ a\equiv -1\pmod{4},}\) to \(\displaystyle{ a^{2}\equiv 1\pmod{4}.}\)
Teraz przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ 4k_{1} - 1, \ldots, 4k_{l} - 1}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi postaci \(\displaystyle{ 4k - 1.}\) Połóżmy:
\(\displaystyle{ a = (4 k_{1} - 1)^{2}\cdot (4 k_{2} - 1)^{2}\cdot \ldots \cdot (4k_{l} - 1)^{2} -2}\)
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną postaci \(\displaystyle{ 4k - 1,}\) więc ma dzielnik pierwszy tej postaci. Ale jest ona względnie pierwsza z każdą z liczb \(\displaystyle{ 4k_{1} - 1, \ldots, 4k_{l} - 1,}\) czyli z wszystkimi liczbami pierwszymi tej postaci - sprzeczność.
-
wiosna
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 2 maja 2008, o 14:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 1 raz
liczby pierwsze i ciąg arytmetyczny
czyli jeśli \(\displaystyle{ 4k_{0} - 1 = p_{1}\cdot \ldots\cdot p_{n}}\) jest rozkładem na czynniki pierwsze, to istnieje takie \(\displaystyle{ i,}\) że \(\displaystyle{ p_{i} = 4n - 1}\) bo inaczej każda liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) byłaby postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\)
Dlaczego tylko tej postaci są dzielniki pierwsze? Nie mogą to być dowolne liczby nieparzyste?
Dlaczego tylko tej postaci są dzielniki pierwsze? Nie mogą to być dowolne liczby nieparzyste?