Ilość liczb spelniających dane równanie..

kp · Post autor: kp » 4 lut 2009, o 17:10

Ile jest czwórek dodatnich liczb całkowitych (a,b,c,d) spełniających rownanie:
ab+bc+cd+da=55

*Kasia · Post autor: *Kasia » 4 lut 2009, o 17:30

Zerknij do tematu poświęconego Olimpiadzie o Diamentowy Indeks AGH - zadanie pochodzi z tegorocznego pierwszego etapu i tam zapewne jest rozwiązane.

smigol · Post autor: **smigol** » 4 lut 2009, o 17:32

\(\displaystyle{ *Kasiu}\), niestety chyba nie ma kiedyś szukałem czy jest jakiś szybszy sposób niż mój

kp pisze:Ile jest czwórek dodatnich liczb całkowitych (a,b,c,d) spełniających równanie:
ab+bc+cd+da=55

ab+bc+cd+da=(b+d)(a+c) =55
55= 5*11
zatem b+d = 5 i a+c = 11
albo b+d=11 a+c=5

dalej wyznaczasz czwórki.

*Kasia · Post autor: *Kasia » 4 lut 2009, o 19:13

Aż dziwne, że nie ma...

A co do zadania, to nie trzeba wyznaczać tych czwórek, choć tutaj jeszcze ciężko by nie było.
Można zauważyć, że równanie \(\displaystyle{ a+b=c}\) dla ustalonego c ma c-1 rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich (\(\displaystyle{ a\in\{1,2,...,c-1\};\ b\in\{c-1,c-2,...,1\}}\)). I mnożymy liczby rozwiązań z poszczególnych części.

patry93 · Post autor: **patry93** » 4 lut 2009, o 19:16

*Kasiu - to zadanie jest z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
O tu -

*Kasia · Post autor: *Kasia » 4 lut 2009, o 19:26

patry93, faktycznie. Chociaż pod różnymi postaciami, dla różnych liczb występowało w różnych miejscach. We wspomnianym przeze mnie konkursie, jak później sprawdziłam, było np. 2008...