podzielność przez 3

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
wiosna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 2 maja 2008, o 14:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

podzielność przez 3

Post autor: wiosna »

Jak wytłumaczyć, że skoro \(\displaystyle{ 3|2 ^{3}+1}\) to musi być \(\displaystyle{ 3 ^{m} |2 ^{3 ^{m} }+1}\)
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

podzielność przez 3

Post autor: max »

Indukcja, w kroku indukcyjnym wystarczy skorzystać z równości:
\(\displaystyle{ 2^{3^{m+1}} + 1 = (2^{3^{m}} + 1)((2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1)}\)
pierwszy nawias jest z założenia podzielny przez \(\displaystyle{ 3^{m},}\) w drugim mamy:
\(\displaystyle{ (2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1 = (2^{3^{m}})^{2} + (-2^{3^{m}} - 1) + 2}\)
Pierwszy składnik daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, drugi jest z założenia podzielny przez 3 a trzeci daje resztę 2, czyli cały nawias dzieli się przez 3.
ODPOWIEDZ