podzielność przez 3
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
podzielność przez 3
Indukcja, w kroku indukcyjnym wystarczy skorzystać z równości:
\(\displaystyle{ 2^{3^{m+1}} + 1 = (2^{3^{m}} + 1)((2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1)}\)
pierwszy nawias jest z założenia podzielny przez \(\displaystyle{ 3^{m},}\) w drugim mamy:
\(\displaystyle{ (2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1 = (2^{3^{m}})^{2} + (-2^{3^{m}} - 1) + 2}\)
Pierwszy składnik daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, drugi jest z założenia podzielny przez 3 a trzeci daje resztę 2, czyli cały nawias dzieli się przez 3.
\(\displaystyle{ 2^{3^{m+1}} + 1 = (2^{3^{m}} + 1)((2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1)}\)
pierwszy nawias jest z założenia podzielny przez \(\displaystyle{ 3^{m},}\) w drugim mamy:
\(\displaystyle{ (2^{3^{m}})^{2} - 2^{3^{m}} + 1 = (2^{3^{m}})^{2} + (-2^{3^{m}} - 1) + 2}\)
Pierwszy składnik daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, drugi jest z założenia podzielny przez 3 a trzeci daje resztę 2, czyli cały nawias dzieli się przez 3.