NWD i podzielność

[wiosna]

Mam do rowiązania takie zadanko:
Podać wzór na \(\displaystyle{ NWD (2 ^{n}-1, 2 ^{m}-1)}\) Rozwiązanie powinno rozpoczynać się spostrzeżeniem, iż \(\displaystyle{ 2 ^{d} -1|2 ^{n} -1}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\). Skąd to spostrzeżenie i jak je udowodnić?

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ 2^{n}-1=(2^{d})^{\frac{n}{d}}-1^{\frac{n}{d}}=(2^{d}-1) \cdot (...)}\)