liczba całkowita

[wiosna]

Jak wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +.....+ \frac{1}{n}}\) nie jest całkowita?

[Brzytwa]

.

[max]

Tylko teraz w którą stronę jest nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną? : )

Wskazówka - można rozpatrzeć największą potęgę 2 mniejszą od \(\displaystyle{ n}\) i wykazać, że po sprowadzeniu tego wyrażenia do wspólnego mianownika nie będzie dzielić ona licznika.

[Brzytwa]

Nie no ja chyba nieprzytomny jestem Do tego próbowałem oszacować z góry szereg rozbieżny do nieskończoności chyba pomyliłem to z \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i!}}\). Wtedy można tak szacować.

P.S. Można też próbować to udowodnić z postulatu Bertranda.

[max]

Na życzenie autora tematu rozwinę swoją propozycję:
Niech \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ 2^{m} < n < 2^{m+1}.}\)
Sprowadzając nasze wyrażenie do wspólnego mianownika mamy w mianowniku \(\displaystyle{ \mbox{nww}\, (2,\ldots, n),}\) czyli w szczególności \(\displaystyle{ 2^{m}}\) dzieli mianownik.
Natomiast w liczniku mamy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n}\frac{\mbox{nww}\, (1, \ldots, n)}{k}}\)
Składniki tej sumy są oczywiście całkowite, w dodatku licznik dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{m}}\) i nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{m+1},}\) a mianownik jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2^{m}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k = 2^{m},}\) bo:
\(\displaystyle{ 2^{m}|k,}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ k = 2^{m}l}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l\in \mathbb{N},}\) ale \(\displaystyle{ k < 2^{m + 1} = 2^{m}\cdot 2}\) stąd \(\displaystyle{ k = 2^{m}.}\)
Zatem wszystkie składniki sumy w liczniku poza jednym są liczbami parzystymi, a więc cała suma jest nieparzysta w przeciwieństwie do mianownika. Zatem nasze wyrażenie nie może być liczbą całkowitą.

[Maciej87]

A ja nawiążę do propozycji Brzytwy. Weźmiemy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) z przedziału \(\displaystyle{ \frac{n}{2}< p \leq n}\). (jeżeli \(\displaystyle{ n=2k}\) to jest to znana wersja, dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{n}{2} <k+1<p\leq 2(k+1)}\) przy czym \(\displaystyle{ 2(k+1)}\) nie jest pierwsza i \(\displaystyle{ p \leq 2k+1 = n}\)).
Oznacza to że żaden z mianowników sumy oprócz wyrazu \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\). A zatem jeśli \(\displaystyle{ H_{n} = m}\) to \(\displaystyle{ \sum\limits_{k\leq n, k\not=p}\frac{1}{k}=H_{n}-\frac{1}{p} = m-\frac{1}{p} = \frac{mp-1}{p}}\).
Prawa strona w postaci nieskracalnej ma w mianowniku \(\displaystyle{ p}\), lewa zaś nie.