podzielność przez 8

[wiosna]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\)
a) \(\displaystyle{ 8|5 ^{n} +2*3 ^{n-1} +1,}\)
b) \(\displaystyle{ 13|n ^{13} -n}\)

[pawelsuz]

Zad 2 to przecież Małe Twierdzenie Fermata...

[smigol]

Zad 2 to przecież Małe Twierdzenie Fermata...

Owszem, ale nie każdy je zna, a nawet jak zna, to nie każdy je potrafi udowodnić. A ja wyznaje zasadę, że jak nie potrafisz udowodnić jakiegoś twierdzenia to go nie stosuj.

wiosna, spróbuj indukcyjnie jak Ci nie wyjdzie - pomożemy ;D

[pawelsuz]

Moje rozwiązanie zadania 1:

Ukryta treść:    

Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) n jest liczbą parzystą, czyli \(\displaystyle{ n=2k , k \in N}\)

\(\displaystyle{ 5^{2}\equiv1(mod \ 8)\\
5^{2k}\equiv1(mod \ 8)}\)

\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv1(mod \ 8)\\
3^{2(k-1)}\equiv1(mod \ 8)\\
3 \cdot 3^{2(k-1)}=3^{2k-1}\equiv3(mod \ 8)\\
2 \cdot 3^{2k-1}\equiv6(mod \ 8)}\)

Zatem
\(\displaystyle{ 5^{n}+2 \cdot 3^{n-1}+1\equiv1+6+1\eqiuv8\equiv0(mod \ 8)}\)

2) n jest liczbą nieparzystą, czyli \(\displaystyle{ n=2k+1 , k \in N}\)
Pokazaliśmy wcześniej, że
\(\displaystyle{ 5^{2k}\equiv1(mod \ 8)}\)
Więc
\(\displaystyle{ 5^{2k+1}\equiv5(mod \ 8)}\)

Tak samo
\(\displaystyle{ 3^{2k-1}\equiv3(mod \ 8)}\)
Więc
\(\displaystyle{ 3^{2k+1-1}=3^{2k}\equiv1(mod \ 8)}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3^{2k}\equiv2(mod \ 8)}\)

Otrzymujemy więc

\(\displaystyle{ 5^{n}+2 \cdot 3^{n-1}+1\equiv5+2+1\equiv8\equiv0(mod \ 8)}\)
Wykazaliśmy więc, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ 5^{n}+2 \cdot 3^{n-1}+1\equiv0(mod \ 8)}\)
c.n.d.