naturalny pierwiastek

[dabros]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{10}[(1+ \sqrt{10})^{100}-(1- \sqrt{10})^{100}]}\) jest liczbą naturalną.

[max]

Jak łatwo przeliczyć zbiór
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{10}]: = \{a + b\sqrt{10} \ : \ a, b \in \mathbb{Z}\}}\)
jest zamknięty względem dodawania, odejmowania i mnożenia (innymi słowy jest podpierścieniem ciała \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).
Zatem badana liczba jest postaci \(\displaystyle{ x + y\sqrt{10}, \ x, y \in \mathbb{Z}.}\)
Rozpatrzmy odwzorowanie
\(\displaystyle{ f(a + b\sqrt{10}) = a - b\sqrt{10}}\)
(w tym miejscu wypada zauważyć, że jest ono dobrze określone, bo \(\displaystyle{ a + b\sqrt{10} = c + d\sqrt{10}\iff a = c\wedge b = d}\))
Jak łatwo przeliczyć odwzorowanie to zachowuje działania, tzn
\(\displaystyle{ f(\alpha\beta) = f(\alpha)f(\beta), \ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)}\)
zatem
\(\displaystyle{ f(\sqrt{10}((1 + \sqrt{10})^{100} - (1 - \sqrt{10})^{100})) =\\
= f(\sqrt{10})((f(1 + \sqrt{10}))^{100} - (f(1 - \sqrt{10}))^{100}) =\\
= \sqrt{10}((1 + \sqrt{10})^{100} - (1 - \sqrt{10})^{100})}\)
więc \(\displaystyle{ x - y\sqrt{10} = f(x + y\sqrt{10}) = x + y\sqrt{10}}\) i stąd \(\displaystyle{ y = 0,}\) czyli nasza liczba jest równa jakiejś całkowitej liczbie \(\displaystyle{ x}\) i pozostaje zauważyć, że jest ona większa od zera.

[Wasilewski]

Inne rozwiązanie; ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{n} - (1-\sqrt{10})^{n}]}\) spełnia rekurencję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} + 9a_{n} \\ a_{0} = 0 \\ a_{1} = 20 \end{cases}}\)
Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi, zatem w szczególnością jest nią \(\displaystyle{ a_{100}}\).