rozwiazanie w liczbach całkowitych

[alternatywa]

znależć wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ 6x+9y+15z=6}\)

[patry93]

Hm, pewnie nic wielkiego nie wniosę, ale można podzielić stronami przez 3 i wtedy będzie:
\(\displaystyle{ 2x+3y+5z=2}\)
I wydaje mi się, że można by się pobawić z parzystością...
Prawa strona jest parzysta, \(\displaystyle{ 2x}\) jest parzyste, więc na pewno \(\displaystyle{ 3y+5z}\) jest parzyste, a to oznacza, że albo oba składniki są parzyste, albo oba są nieparzyste...
Nic więcej na razie nie mogę wymyślić :/ Chociaż rozwiązanie pewnie jest proste, tylko oczywiście tego nie widzę

[timon92]

\(\displaystyle{ 2x+3y+5z=2}\)
\(\displaystyle{ 2x=-3y-5z+2}\)
\(\displaystyle{ x=1- \frac{3y+5z}{2}}\)
y i z muszą być tej samej parzystości
Przypadek 1. \(\displaystyle{ y=2y_1 \wedge z=2z_1}\)
\(\displaystyle{ x=1-3y_1-5z_1}\)
Widać, że dowolne całkowite \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ z_1}\) spełniają równanie.
\(\displaystyle{ x=1-3k-5l \wedge y=2k \wedge z=2l}\) dla dowolnych całkowitych k i l
Przypadek 2. \(\displaystyle{ y=2y_1+1 \wedge z=2z_1+1}\)
\(\displaystyle{ x=-3y_1-5z_1}\)
Podobnie jak w przypadku 1. dowolne całkowite \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ z_1}\) spełniają równanie.
\(\displaystyle{ x= -3k-5l \wedge y=2k+1 \wedge z=2l+1}\) dla całkowitych k i l.
A zatem jedynymi całkowitymi rozwiązaniami danego równania są:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1-3k-5l \\ y=2k \\ z=2l \end{cases} \vee \begin{cases} x=-3k-5l \\ y=2k+1 \\ z=2l+1 \end{cases}}\) dla całkowitych \(\displaystyle{ k,l}\)