Równość k i y^{k-1}

[Desmondo]

Wyraźnie widzę na kolejnych przykładach, że dla k>2 równość \(\displaystyle{ k=y^{k-1}}\) nie zachodzi dla żadnej liczby y. Ale czy mógłby ktoś to dobitnie udowodnić?

[Artist]

Wyraźnie widzę na kolejnych przykładach, że dla k>2 równość \(\displaystyle{ k=y^{k-1}}\) nie zachodzi dla żadnej liczby y. Ale czy mógłby ktoś to dobitnie udowodnić?

Dla k>2 piszesz?
A dla 3?
\(\displaystyle{ 3=y^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ y=-\sqrt{3}}\)

etc.

Ogólnie
\(\displaystyle{ y=\sqrt[k-1]{k}}\) dla \(\displaystyle{ k>2}\)

[Desmondo]

Jak zwykle zabrakło mi precyzji, chodzi o liczby naturalne k i y.
Nie mogę przeskoczyć jednego przejścia w zadaniu:
Znajdź wszystkie pary (x,y) liczb naturalnych spełniających równanie \(\displaystyle{ x^{y}=y^{x} \ x \neq y}\)
W odpowiedziach jest tylko tyle: "Zakładając, że y<x udowdnij, że x dzieli się przez y, czyli x=ky. Wówczas \(\displaystyle{ ky=y^{k}}\) oraz \(\displaystyle{ k=y^{k-1}}\) (do tego momentu doszedłem), co jak łatwo sprawdzić jest niemożliwe gdy k>2, y>1."
No i jakoś mnie nie przekonuje samo twierdzenie "Jak łatwo sprawdzić..."

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ y> 1}\), to \(\displaystyle{ y^{k-1} >= 2^{k-1}}\).
Starczy więc udowodnić, że \(\displaystyle{ k < 2^{k-1}}\), do czego wystarczy prosta indukcja.

Q.