Zadanie na dowód: wykaż że dla każdlej liczby naturalnej...

margharetka · Post autor: **margharetka** » 10 sty 2009, o 18:36

Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) jest liczbą podzielną przez 30. Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję!!

tkrass · Post autor: **tkrass** » 10 sty 2009, o 19:22

\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-n)=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)}\)
6 dzieli \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\), pozostaje znaleźć 5
jeśli 5 dzieli któryś z czynników (n-1)n(n+1) to koniec zadania.
jeśli nie, to n daje z dzielenia przez 5 resztę 2 lub 3. w każdym z tych dwóch przypadków \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) daje resztę 0.

margharetka · Post autor: **margharetka** » 10 sty 2009, o 19:23

Dziękuję!!