Należy policzyć \(\displaystyle{ x^{6}+x ^{3}y ^{3}+y ^{6}}\) jeżeli
\(\displaystyle{ x^{2}+xy+y^{2}=4}\) oraz \(\displaystyle{ x^{4}+x ^{2}y ^{2}+y ^{4}=8}\)
Pomnożyłem obydwa równania jednak niepotrafię doprowadzić do oczekiwanej postaci ;/
Wyrażenia algebraiczne
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Wyrażenia algebraiczne
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)^2-xy=4\\ \left((x+y)^2-2xy\right)^2-(xy)^2=8\end{cases}}\)
Wylicz z tego parę \(\displaystyle{ (x+y, xy)}\) i oblicz \(\displaystyle{ \left((x+y)^3-3xy(x+y)\right)^2-(xy)^3}\).
Wylicz z tego parę \(\displaystyle{ (x+y, xy)}\) i oblicz \(\displaystyle{ \left((x+y)^3-3xy(x+y)\right)^2-(xy)^3}\).
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Wyrażenia algebraiczne
Zrób podstawienie takie:
\(\displaystyle{ x^6+x^3y^3+y^6=(x^3+y^3)^2-x^3y^3=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2-(xy)^3= (x+y)^2 \left[(x+y)^2-3xy \right]^2-(xy)^3=t^2 \left[t^2-3z \right]^2-z^3=19}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=x+y \\ z=xy \end{cases}}\)
Wtedy dane z zadania można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t^2-z=4\\ \left( t^2-z\right) ^2-z^2=8 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu dostaje się:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=\sqrt{5} \vee t=-\sqrt{5} \\ z=1 \end{cases}}\)
I wtedy: \(\displaystyle{ x^6+x^3y^3+y^6=(x^3+y^3)^2-x^3y^3=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2-(xy)^3= (x+y)^2 \left[(x+y)^2-3xy \right]^2-(xy)^3=t^2 \left[t^2-3z \right]^2-z^3=19}\)