Bliskie podzielniki

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) istnieją kolejne jej dzielniki, które różnią się o 2 ?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ m= 12}\) tak bo są nimi 4 i 6
\(\displaystyle{ m=15 }\) tak bo są nimi 3 i 5
\(\displaystyle{ m=10 }\) nie bo są takie: 1, 2, 5, 10
\(\displaystyle{ m=6 }\) nie bo choć są dzielniki 1 i 3 ale nie kolejne

[Brombal]

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ k \in {\left\{ 4,6,12,18,30,42,60,72,102,108,138,150,180,192,198\right\} }}\)
weźmy liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\)
podstawmy
\(\displaystyle{ m=(n\cdot 210+k) ^{2} -1}\)

Dodano po 31 minutach 24 sekundach:
Przekombinowałem
\(\displaystyle{ m=n ^{2} -1}\) i wielokrotności

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ m=n ^{2} -1}\) i wielokrotności

Wielokrotności nie zawsze, np. \(\displaystyle{ m=n\cdot(n^2-1)}\) jest niedobre.

JK

[pesel]

Dla jakich m istnieją kolejne jej dzielniki, które różnią się o 2 ?

Dlaczego nie dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\), przecież dzielnikami są \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\)?

[Jan Kraszewski]

Dlaczego nie dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\), przecież dzielnikami są \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\)?

Pewnie chodziło o dzielniki naturalne. Ale nawet dla dzielników całkowitych dla \(\displaystyle{ m=0}\) jest źle.

JK

[Brombal]

Odnośnie przekombinowanego przykładu, to znacząca większość dzielników to liczby pierwsze bliźniacze. (niestety tylko w zakresie pracy kalkulatora potem jest gorzej).

[Math_Logic]

Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
Implikacja w lewo jest oczywista, dzielnikami \(\displaystyle{ m}\) odległymi od siebie o \(\displaystyle{ 2}\) są \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2.}\)
Implikacja w prawo również jest oczywista.

Dodatkowo musimy założyć, że \(\displaystyle{ k \neq n+1,}\) wtedy te dzielniki będą kolejne. Czyli \(\displaystyle{ m = n(n+2)k = n^2+2n+k = ((n+1)^2-1)k.}\) Żeby było ładniej:
Jeżeli \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ k \neq n,}\) to

\(\displaystyle{ m = (n^2-1)k.}\)

[Dasio11]

Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
[...]
Implikacja w prawo również jest oczywista.

A czy można prosić o wyjaśnienie tej oczywistości, najlepiej na przykładach \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ 12}\), \(\displaystyle{ 84}\), \(\displaystyle{ 180}\)?

[Elayne]

Dla liczby \(\displaystyle{ 12}\), mamy odp. w pierwszym poście, cytuje:
\(\displaystyle{ m = 12}\) tak bo są nimi \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 6}\)

A teraz proszę zwrócić uwagę, jaki iloczyn dają te dzielniki.

[Dasio11]

Jeśli ma to być odpowiedź na moje pytanie, to nic z niej nie rozumiem.

[Elayne]

Twierdzenie, że liczba musi być postaci: \(\displaystyle{ m = n(n+2)k}\) jest fałszywe. Nie tędy droga.

[Math_Logic]

Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
[...]
Implikacja w prawo również jest oczywista.

A czy można prosić o wyjaśnienie tej oczywistości, najlepiej na przykładach \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ 12}\), \(\displaystyle{ 84}\), \(\displaystyle{ 180}\)?

Tak jak pokazałeś nie jest to prawda. Bezmyślnie stwierdziłem, że jeżeli dwie liczby są dzielnikami jakieś innej liczby, to ich iloczyn również jest jej dzielnikiem. Bardzo głupi błąd. Przepraszam.

Już próbuję naprawić:
Weźmy \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) i znajdźmy wszystkie takie liczby, które mają wśród swoich dzielników te dwie liczby. Najmniejsza taka liczba, to \(\displaystyle{ NWW(n, n+2),}\) z definicji \(\displaystyle{ NWW}\). Korzystając z właśności \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = \frac{n(n+2)}{NWD(n,n+2)}.}\)

Rozpatrzmy dwie możliwości.
1. Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzysta. Wtedy \(\displaystyle{ NWD(n,n+2) = 1,}\) a zatem \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = n(n+2).}\)

2. Liczb \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta. Wtedy \(\displaystyle{ NWD(n, n+2) = 2,}\) zatem \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = \frac{1}{2}n(n+2).}\)

Tak jak poprzednio bierzemy wszystkie ich wielokrotności, ale wśród nich wyrzucamy wszystkie \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ k \mid (n+1).}\)

Dasio11, czy teraz się zgadzasz?

[mol_ksiazkowy]

2. Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta.

A czy wtedy nie zgubią się potęgi \(\displaystyle{ 2}\) ?

[Math_Logic]

Nie zgubią. Jedyne dzielniki potęgi dwójki, które spełniają warunki zadania, to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\). W mojej konstrukcji najmniejszą taką liczbą powinna być \(\displaystyle{ NWW(2,4) = 4.}\) Kolejne liczby o takich dzielnikach są tworzone przez branie odpowiednich wielokrotności \(\displaystyle{ k}\).

Potęgi dwójki powstają następująco
\(\displaystyle{ 4\cdot2^t,}\) \(\displaystyle{ t=1,2,\ldots}\)

[mol_ksiazkowy]

Istotnie. Możne jeszcze zajmować się uogólnieniem problemu: istnienie kolejnych dzielników różniących się o \(\displaystyle{ q >1}\) .