Niech \(\displaystyle{ d(n)}\)-liczba wszystkich dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) i niech:
\(\displaystyle{ D(N)= \sum_{n \le N}^{}d(n) }\).
W dowodzie twierdzenia Dirichleta występuje następująca równość:
\(\displaystyle{ D(N)=2 \sum_{1 \le x \le \sqrt{N},1 \le xy \le N }^{}1-\left[ \sqrt{N} \right]^2 }\)
Moje pytanie jest dlaczego to zachodzi? To ma chyba jakiś związek z hiperbolą \(\displaystyle{ xy=N}\), bo taki widzę rysunek przy tym dowodzie, ale nie wiem zbytnio o co tu chodzi. Proszę o jakieś wyjaśnienie.
Problem w dowodzie 5
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Problem w dowodzie 5
bo dlatego , że wziąłem ten pierwiastek pod symbol sumy i wyszła ujemna...
Mógłbym np. tego nie zrobić i wyjdzie co inne
W takim razie trzeba zauważyć, że:
(1) \(\displaystyle{ \left[ \frac{x}{n} \right] -\left[ \sqrt{x} \right] }\) jest to ilość par całkowitych spełniających:
\(\displaystyle{ 1 \le n \le \left[ \sqrt{x} \right], \sqrt{x}<m \le \frac{x}{n} }\)
Obkładasz (1) sumą:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left( \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right] \right)= \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]- \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left[ \sqrt{x} \right] =\sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right]^2 }\)
U ciebie może być:
\(\displaystyle{ K=x}\)
Dodano po 3 minutach 59 sekundach:
Oczywiście jak zamieniasz symetrycznie m i n to się to podwaja... stąd czynnik dwa na początku,
A w ogóle to badaj sobie sumy:
typu:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left[ \frac{x}{n} \right] }\)
Mógłbym np. tego nie zrobić i wyjdzie co inne
W takim razie trzeba zauważyć, że:
(1) \(\displaystyle{ \left[ \frac{x}{n} \right] -\left[ \sqrt{x} \right] }\) jest to ilość par całkowitych spełniających:
\(\displaystyle{ 1 \le n \le \left[ \sqrt{x} \right], \sqrt{x}<m \le \frac{x}{n} }\)
Obkładasz (1) sumą:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left( \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right] \right)= \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]- \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left[ \sqrt{x} \right] =\sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right]^2 }\)
U ciebie może być:
\(\displaystyle{ K=x}\)
Dodano po 3 minutach 59 sekundach:
Oczywiście jak zamieniasz symetrycznie m i n to się to podwaja... stąd czynnik dwa na początku,
A w ogóle to badaj sobie sumy:
typu:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left[ \frac{x}{n} \right] }\)