Szereg odwrotności liczb pierwszych
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Szereg odwrotności liczb pierwszych
W dowodzie tego, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{p} }\) jest rozbieżny, gdzie \(\displaystyle{ p}\) to liczby pierwsze, natknąłem się na taką linijkę:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{p}>> \sum_{}^{} \frac{1}{n\log n} }\)
No i to jeszcze rozumiem jak do tego dochodzili w tym dowodzie, ale później jest linijka:
\(\displaystyle{ \sum_{p \le x}^{} \frac{1}{p}>>\log \log x }\)
I tego już nie rozumiem, skąd jest ta ostatnia nierówność. Może mi to ktoś wytłumaczyć?
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{p}>> \sum_{}^{} \frac{1}{n\log n} }\)
No i to jeszcze rozumiem jak do tego dochodzili w tym dowodzie, ale później jest linijka:
\(\displaystyle{ \sum_{p \le x}^{} \frac{1}{p}>>\log \log x }\)
I tego już nie rozumiem, skąd jest ta ostatnia nierówność. Może mi to ktoś wytłumaczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych
W zasadzie już pierwsza nierówność wystarcza, bo szereg po prawej jest rozbieżny. (Np. kryterium rozrzedzające).
Drugą nierówność dostaniesz gdy zauważysz, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\int_{n}^{n+1}\frac{1}{t\log t}dt=...}\)
Drugą nierówność dostaniesz gdy zauważysz, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\int_{n}^{n+1}\frac{1}{t\log t}dt=...}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych
No maleje, ale co z tego wynika?
Możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\frac{1}{(n+1)\log (n+1)} }\),
ale skąd ta całka?
Możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\frac{1}{(n+1)\log (n+1)} }\),
ale skąd ta całka?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych
Przypomnij sobie definicję całki oznaczonej. Może zrób rysunek.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych
Aha dobra chyba już kapuję. Te \(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n} \cdot 1 }\), to można traktować jako pole prostokąta o szerokości \(\displaystyle{ 1}\) i wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n} }\), a w tym prostokącie zawiera się pole między krzywą \(\displaystyle{ \frac{1}{t\log t} }\), a osią \(\displaystyle{ Ox}\), w przedziale od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n+1}\), zgadza się? Bo w tej lewej stronie nierówności my bierzemy ten "większy" jakby prostokąt, a nie mniejszy, dlatego pewnie to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)\log (n+1)}> \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t\log t} \dd t }\),
byłoby już pewnie fałszywe zgadza się?
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)\log (n+1)}> \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t\log t} \dd t }\),
byłoby już pewnie fałszywe zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych
Zgadza się, ale żeby skompletować dowód musisz jeszcze policzyć te całki i przeprowadzić pewne proste rozumowanie