Znaleźć pary liczb które są sumami n kwadratów oraz ich iloczyn jest sumą n kwadratów

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
bosendorfer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 3 lut 2020, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 12 razy

Znaleźć pary liczb które są sumami n kwadratów oraz ich iloczyn jest sumą n kwadratów

Post autor: bosendorfer » 9 cze 2021, o 22:54

Zadanie
Znaleźć przykłady par liczb całkowitych, z których każda jest równa sumie kwadratów \(\displaystyle{ n}\) liczb, i ich iloczyn jest także sumą kwadratów \(\displaystyle{ n}\) liczb, dla możliwie wielu \(\displaystyle{ n=1,2,3,4,...}\)

Zadanie należy zrealizować na komputerze. Niestety kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Czy istnieje algorytm szukający takich liczb? Na razie mój jedyny pomysł to po prostu zgadywać do skutku...
Ostatnio zmieniony 9 cze 2021, o 23:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie manipuluj wielkością czcionki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 302
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 9 razy

Re: Znaleźć pary liczb które są sumami n kwadratów oraz ich iloczyn jest sumą n kwadratów

Post autor: Brombal » 10 cze 2021, o 13:18

Jakieś ograniczenia co do języka programowania?
Czy chodzi o sumę kwadratów kolejnych n liczb?

Dodano po 4 minutach 46 sekundach:
Dodatkowo, czy obie liczby muszą być różne?

Dodano po 5 minutach 1 sekundzie:
Jeżeli odpowiedź jest pozytywna, to można to najprościej zrobić za pomocą tablicy liczb, w którą wczytasz kolejne liczby będącymi sumą kwadratów kolejnych liczb. Z tablicy pobierzesz wszystkie kombinacje dwóch liczb takich by iloczyn był mniejszy od maksymalnej wartości w tablicy i wyszukasz tego iloczynu w tablicy. :)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Znaleźć pary liczb które są sumami n kwadratów oraz ich iloczyn jest sumą n kwadratów

Post autor: a4karo » 10 cze 2021, o 13:57

Może tak:
`(1^2+0^2+0^2+...)\cdot(1^2+0^2+0^2+...)=(1^2+0^2+0^2+...)`
(zer wstaw tyle ile potrzebujesz.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 302
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 9 razy

Re: Znaleźć pary liczb które są sumami n kwadratów oraz ich iloczyn jest sumą n kwadratów

Post autor: Brombal » 10 cze 2021, o 14:43

Warunek spełniają wszystkie pary liczb, z których jedna jest jedynką.
W zakresie liczb integer jest taka para.
\(\displaystyle{ n _{1} = 506}\) ,\(\displaystyle{ n _{2} = 1015 }\), \(\displaystyle{ n _{1}\cdot n _{2} = 513590}\)

algorytm jest taki
Ukryta treść:    
Dodano po 1 minucie 32 sekundach:
To jednak nędzny wynik

Dodano po 3 minutach 1 sekundzie:
jest jeszcze taki wynik
\(\displaystyle{ n _{1} = 650 }\), \(\displaystyle{ n _{2} = 513590}\), \(\displaystyle{ n _{1} \cdot n _{2} = 333833500}\)

Dodano po 17 minutach 41 sekundach:
A jeszcze poszukałem ;-) dla nieco większych liczb
\(\displaystyle{ n _{1} = 56980}\), \(\displaystyle{ n _{2} = 320988850}\) , \(\displaystyle{ n _{1}\cdot n _{2} = 18289944673000}\)
Ostatnio zmieniony 10 cze 2021, o 15:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak tagów [code]. Symbol mnożenia to \cdot.

ODPOWIEDZ