Janusz Tracz pisze: ↑18 kwie 2021, o 12:15
Ta hipoteza jest chyba nierozwiązana póki co? Więc ambitne zadanie jak na pracę dyplomową.
Tak, nie jest jeszcze rozwiązana - oczywiście nie mam w planach jej rozwiązać, ale zrobię co w mojej mocy, by ją blisko poznać.
Janusz Tracz pisze: ↑18 kwie 2021, o 12:15
W to nie uwierzę. Po pierwsze ja twierdzę
jedynie, że od pewnego momentu zachodzi:
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)
po drugie nie widzę wynikania, jak by się to miało przydać w hipotezie Legendre'a? Nie widzę związku. Wolfram coś liczy ale nie wiem co to jest. I po trzecie skoro od ponad 100 lat nikt tego nie zrobił to przypuszczam, że my opierając się na ogólnie znanym fakcie nie odkryjemy niczego niezwykłego.
Jestem daleki od uznania się za osobę, która mogłaby poprawić dotychczasowe wyniki. Po prostu dość długo się nad tym zastanawiam i próbuję przedstawić to w językach różnych twierdzeń (będzie o tym cały rozdział w mojej pracy) i to co powiedziałeś rzuciło mi właśnie taki pomysł i już się z niego tłumaczę (przepraszam jeśli to co piszę jest chaotyczne, ale jeszcze nie opanowałem pisania rozumowań matematycznych w zwięzły sposób)
Ustalmy
\(\displaystyle{ \epsilon = 0,000.000.000.01}\) (dla uproszczenia zapisu będę pisał
\(\displaystyle{ \epsilon}\) mając na myśli tą konkretną wartość)
Od pewnego
\(\displaystyle{ n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)
Tak mi napisałeś (ufam, że tak).
kładąc pod
\(\displaystyle{ n}\) odpowiednio
\(\displaystyle{ n^2}\) i
\(\displaystyle{ (n+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n^2}{\ln n^2} < \pi (n^2) <(1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)
i
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} < \pi ((n+1)^2) <(1+\epsilon) \frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2}}\)
Teraz przedstawmy hipotezę Legendre'a za w takiej postaci:
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) \ge 1}\)
myślę, że tego nie muszę tłumaczyć.
Więc lećmy dalej, z naszej nierówności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \pi (n^2) <(1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)
i
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} < \pi ((n+1)^2)}\)
Jeżeli więc w hipotezie, po lewej stronie nierówności zmniejszymy odjemną i zwiększymy odjemnik, to uzyskamy liczbę mniejszą
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) > (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)
teraz sprawdzam w wolframie (link w poprzednim poście), że mogę ograniczyć z prawej strony:
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) > (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} \ge 1}\)
Więc dla naszego
\(\displaystyle{ \epsilon}\) hipoteza zachodzi. Co znaczy, ze zachodzi od pewnego miejsca.