Postawienie problemu
Niech \(\displaystyle{ S>0}\) oraz \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Rozpatrzmy takie \(\displaystyle{ n}\)-elementowe ciągi liczb nieujemnych \(\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots , a_n)}\), że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i = S}\). Jaki ciąg \(\displaystyle{ \left( a_i \right)_{i=1}^n}\) opisany powyżej maksymalizuje wartość iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n a_i}\)? Ile wynosi ta największa wartość?
Przypomnijmy, że
\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
\sum_{i=1}^n a_i &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n, \\
\prod_{i=1}^n a_i &= a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n.
\end{array}}\)
\sum_{i=1}^n a_i &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n, \\
\prod_{i=1}^n a_i &= a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n.
\end{array}}\)
Warto w tym miejscu też wspomnieć, że ciągi opisane przez podane warunki tworzą w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) tzw. zbiór zwarty, zatem określona tam funkcja ciągła \(\displaystyle{ f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\prod_{i=1}^n a_i}\) przyjmuje w pewnym punkcie tego zbioru wartość maksymalną. Jest to wiedza przedstawiana na kursach analizy matematycznej - będziemy tego potrzebować w dalszej części dowodu, ale nie jest to sednem tego artykułu. Skorzystamy jedynie z tego, że istnieje ciąg opisany powyższymi warunkami, który maksymalizuje wartość przedstawionego iloczynu.
Powszechnie znanym rezultatem jest to, że dla ciągu liczb nieujemnych \(\displaystyle{ \left( a_i \right)_{i=1}^n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \begin{equation*}
\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n},
\end{equation*}}\)
przy czym równość w powyższej nierówności zachodzi dokładnie wtedy, gdy wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) mają równe wartości. To twierdzenie nazywa się nierównością pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią geometryczną, czasem też nazywa się je nierównością Cauchy'ego o średnich. Rezultat ten jest ściśle związany z rozważanym przez nas pytaniem (dlaczego?).\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n},
\end{equation*}}\)
Rozwiązanie
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) problem jest bardzo prosty do rozwiązania. Podstawiając \(\displaystyle{ a_2=S-a_1}\) do przytoczonego iloczynu zauważamy, że wystarczy znaleźć maksymalną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a_1 \cdot (S-a_1)}\) dla \(\displaystyle{ a_1 \in [0,S]}\). Jest ona oczywiście przyjmowana dla \(\displaystyle{ a_1=\frac{S}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ a_1=a_2=\frac{S}{2}}\), czyli w ogólności \(\displaystyle{ a_1 \cdot a_2 \le \left( \frac{S}{2} \right)^2}\).
Najpopularniejsze znajdujące się w literaturze dowody nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią geometryczną odwołują się do indukcji matematycznej oraz do nierówności Jensena. Przedstawimy tu dowód, który nie będzie korzystał nawet z indukcji matematycznej. Będzie on prosty i zadziwiająco analogiczny do dowodu przeprowadzonego powyżej dla \(\displaystyle{ n=2}\).
Gdy pewna z liczb \(\displaystyle{ a_i}\) ma wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), to wartość naszego iloczynu również wynosi \(\displaystyle{ 0}\). W oczywisty sposób nie jest to rozwiązanie naszego zagadnienia. Załóżmy więc, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) są ściśle dodatnie. Niech \(\displaystyle{ a_1=x}\) oraz \(\displaystyle{ a_2=y}\). Zapiszmy \(\displaystyle{ B=\sum_{i=3}^n a_i}\) (suma wszystkich wyrazów ciągu za wyjątkiem \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\)). Zatem \(\displaystyle{ y=S-B-x}\), przy czym \(\displaystyle{ x,y \in (0, S-B)}\). Wstawiając to do naszego iloczynu widzimy, że maksymalizacja iloczynu \(\displaystyle{ x(S-B-x) \cdot \prod_{i=3}^n a_i}\) pociąga za sobą maksymalizację wyrażenia \(\displaystyle{ x(S-B-x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,S-B)}\). Jak już wspomnieliśmy wcześniej, rozwiązanie tego zagadnienia optymalizacyjnego to \(\displaystyle{ x=\frac{S-B}{2}}\), stąd też \(\displaystyle{ y=\frac{S-B}{2}}\), czyli dostajemy \(\displaystyle{ x=y}\). Podkreślmy to - jeśli iloczyn przyjmuje wartość maksymalną, to musi wówczas zachodzić \(\displaystyle{ a_1=a_2}\).
Jednak zauważmy, że zmienne \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ a_2}\) nie były w żaden sposób wyróżnione, a analogiczne rozumowanie mogliśmy przeprowadzić wyróżniając \(\displaystyle{ a_p=x}\) oraz \(\displaystyle{ a_q=y}\) dla dowolnych różnych liczb \(\displaystyle{ p,q}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,\ldots,n \rbrace}\). Oznacza to, że jeśli iloczyn osiąga maksymalną wartość, to \(\displaystyle{ a_p=a_q}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ p,q}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,\ldots,n \rbrace}\). Zatem nasz iloczyn przyjmuje wartość maksymalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_i}\) mają równe wartości, czyli gdy \(\displaystyle{ a_i=\frac{S}{n}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\). Jest to rozwiązanie naszego zagadnienia. Łatwo sprawdzić, że dowodzi to też nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną (wraz z odpowiedzią na pytanie, kiedy zachodzi tam równość).
Zachęcam do przedstawiania w tym temacie innych dowodów nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną!
