WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
WZORY:1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
2. Kwadrat sumy trzech wyrażeń
\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}\)
3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)
4. Różnica kwadratów
\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)
5. Sześcian sumy dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
6. Sześcian różnicy dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^{2}b+3ab^2-b^3}\)
7. N-ta potęga sumy dwóch wyrażeń:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\)
8. N-ta potęga różnicy dwóch wyrażeń:
\(\displaystyle{ (a-b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} {n\choose k}a^{n-k}b^{k}}\)
9. Różnica sześcianów , czwartych potęg, piątych potęg, ..., n-tych potęg dwóch wyrażeń (dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\))
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}\)
\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ s + ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
10. Suma sześcianów, piątych potęg, ..., n-tych potęg dwóch wyrażeń (n jest liczbą nieparzystą)
\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}\)
\(\displaystyle{ a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2- s +a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
11. Wzór wielomianowy Newtona:
\(\displaystyle{ (a_1 + a_2 + \ldots + a_k)^n = \sum_{j_1,j_2,\ldots, j_k} \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!} a_1^{j_1} \ldots a_k^{j_k}}\), gdzie suma jest brana po wszystkich całkowitych nieujemnych układach wskaźników takich, że \(\displaystyle{ j_1 + \ldots + j_k=n}\).
Liczby \(\displaystyle{ \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!}}\) nazywa się współczynnikami wielomianowymi Newtona i oznacza przez \(\displaystyle{ n \choose {j_1,\ldots, j_k}}\).
12. Wzory różne:
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^{2}}{2}}\)
ZADANIA:
Przykłady zadań, związanych z tym zagadnieniem znajdziecie w dziale:
Przekształcenia algebraiczne