Wzory skróconego mnożenia

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Podstaw matematyki
Gambit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 8 wrz 2004, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 2 razy

Wzory skróconego mnożenia

Post autor: Gambit »

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
WZORY:

1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń

\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

2. Kwadrat sumy trzech wyrażeń

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}\)

3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

\(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)

4. Różnica kwadratów

\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)

5. Sześcian sumy dwóch wyrażeń

\(\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

6. Sześcian różnicy dwóch wyrażeń

\(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^{2}b+3ab^2-b^3}\)

7. N-ta potęga sumy dwóch wyrażeń:

\(\displaystyle{ (a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k} b^{k}}\)

8. N-ta potęga różnicy dwóch wyrażeń:

\(\displaystyle{ (a-b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} {n\choose k}a^{n-k}b^{k}}\)

9. Różnica sześcianów , czwartych potęg, piątych potęg, ..., n-tych potęg dwóch wyrażeń (dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\))

\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}\)
\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ s + ab^{n-2}+b^{n-1})}\)

10. Suma sześcianów, piątych potęg, ..., n-tych potęg dwóch wyrażeń (n jest liczbą nieparzystą)

\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}\)
\(\displaystyle{ a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2- s +a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}\)


11. Wzór wielomianowy Newtona:

\(\displaystyle{ (a_1 + a_2 + \ldots + a_k)^n = \sum_{j_1,j_2,\ldots, j_k} \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!} a_1^{j_1} \ldots a_k^{j_k}}\), gdzie suma jest brana po wszystkich całkowitych nieujemnych układach wskaźników takich, że \(\displaystyle{ j_1 + \ldots + j_k=n}\).
Liczby \(\displaystyle{ \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!}}\) nazywa się współczynnikami wielomianowymi Newtona i oznacza przez \(\displaystyle{ n \choose {j_1,\ldots, j_k}}\).

12. Wzory różne:

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^{2}}{2}}\)

ZADANIA:

Przykłady zadań, związanych z tym zagadnieniem znajdziecie w dziale:

Przekształcenia algebraiczne
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2008, o 01:29 przez Gambit, łącznie zmieniany 4 razy.
ODPOWIEDZ