Nierówności pomiędzy średnimi

[Piotr Rutkowski]

Nierówności pomiędzy średnimi
Znaczna część zadań z rozwiązywaniem nierówności wymaga zastosowania nierówności pomiędzy średnimi. Można te nierówności sformułować w ten sposób:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzą następujące nierówności:
\(\displaystyle{ Sr_{kwadratowa} \geq Sr_{arytmetyczna} \geq Sr_{geometryczna} \geq Sr_{harmoniczna}}\)
Już w czysto matematycznym zapisie będzie to wyglądało tak:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in\RR_{+}}\) zachodzą następujące nierówności:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...a_{n}^{2}}{n}} \geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}}}\)

Bardzo ważną do zapamiętania rzeczą, jest to, że w tych nierównościach równość występuje tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy są sobie równe czyli \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}.}\)


Przedstawię tu dowód dla \(\displaystyle{ n=2}\) dla średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej. Dowód dla średniej kwadratowej jak i dla dowolnego n pomijamy.
1.
Udowodnijmy, że dla \(\displaystyle{ a,b\in\RR_{+}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.}\)

Dowód:
Wychodzimy od tożsamości i ją przekształcamy:
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} \geq 0}\), bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej musi być większy lub równy zeru.
\(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2} \geq 0}\) dodajemy \(\displaystyle{ 4ab}\) do obu stron
\(\displaystyle{ a^{2}+2ab+b^{2} \geq 4ab}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{2} \geq 4ab}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^{2}}{4} \geq ab}\)
Jako, że działamy tylko w liczbach rzeczywistych dodatnich, to możemy spokojnie spierwiastkować obie strony równania, przez co otrzymujemy szukaną tezę:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}\)
Koniec dowodu.

2.
Udowodnijmy, że dla \(\displaystyle{ a,b\in\RR_{+}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\)

Dowód:
Wychodzimy od tożsamości i tak jak w poprzednim przykładzie przekształcamy:
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} \geq 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2} \geq 0}\) dodajemy \(\displaystyle{ 2ab}\) do obu stron
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \geq 2ab}\) dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2}\) teraz rozszerzamy liczniki i mianowniki lewej strony (jeden ułamek rozszerzamy o \(\displaystyle{ a}\), natomiast drugi o \(\displaystyle{ b}\))
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a^{2}}+\frac{ab}{b^{2}} \geq 2}\) teraz obustronnie dodajemy \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a^{2}}+\frac{ab}{b^{2}}+2 \geq 4}\) zwijamy teraz lewą stronę
\(\displaystyle{ ab\cdot (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{ab}) \geq 4}\) stosujemy teraz wzór skróconego mnozęnia na kwadrat sumy
\(\displaystyle{ ab\cdot (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2} \geq 4}\)
dzielimy obustronnie przez to, co mamy w nawiasie
\(\displaystyle{ ab \geq \frac{4}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}}}\)
Jako że działamy tylko w liczbach dodatnich, to możemy tak jak wcześniej spierwiastkować równanie po obu stronach, co nam da szukaną nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\)
Koniec dowodu.


Zadania przykładowe

1)
Udowodnij, że jeśli dla liczb a,b,c należących do liczb rzeczywistych dodatnich występuje równość:
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc}\), to
\(\displaystyle{ a=b=c.}\)

2)
Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc.}\)

Jeśli ktoś pierwszy raz się spotyka z tego typu zadaniami i nie ma w nich dużej wprawy proponuję, aby czytelnik przed zapoznaniem się z wzorcowymi rozwiązaniami postarał się je rozwiązać samemu celem ćwiczeń!!!

Zadanie 1:
Przekształćmy podaną tożsamość:
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}=abc}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}=\sqrt[3]{a^{3}\cdot b^{3}\cdot c^{3}}}\)
Z tego zapisu już wprost wynika, że \(\displaystyle{ a=b=c}\), ponieważ równość między średnimi zachodzi tylko wtedy gdy wszystkie wyrazy są równe.
Koniec dowodu.

Zadanie 2:
Mamy udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc}\)
Zauważmy, że z nierówności pomiędzy średnimi możemy wypisać kilka tożsamości:
a) \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}}\)
Teraz wszystkie obustronnie pomnóżmy przez \(\displaystyle{ 2}\):
a) \(\displaystyle{ a+b \geq 2\sqrt{ab}}\)
b) \(\displaystyle{ b+c \geq 2\sqrt{bc}}\)
c) \(\displaystyle{ a+c \geq 2\sqrt{ac}}\)
Kiedy je przez siebie wymnożymy otrzymamy:
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c) \geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc}\)
Koniec dowodu.