Zasady podzielności dla liczb 7, 8, 16, 32

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Podstaw matematyki
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zasady podzielności dla liczb 7, 8, 16, 32

Post autor: Rogal »

TRZY CECHY PODZIELNOŚCI PRZEZ 7
Cecha pierwsza:
Odnosi się ona do liczb większych niż dwie cyfry, tzn. większych od \(\displaystyle{ 99}\).

Weźmy zatem dowolną liczbę większą od \(\displaystyle{ 99}\). Następnie w tej liczbie "odcinamy" dwie ostatnie cyfry i to co nam pozostało z liczby, mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\). I do tego iloczynu dodajemy, to co odcięliśmy. Zabieg powtarzamy aż do uzyskanie liczby dwucyfrowej, co do której już mamy pewność, czy jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\) czy też nie. Oczywiście trzeba trochę przykładów, bo sama teoria, to za mało.

Przykład: 12345

Zgodnie z przepisem odcinamy dwie ostatnie cyfry i otrzymujemy w ten sposób liczbę \(\displaystyle{ 123}\), którą mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy już \(\displaystyle{ 246}\). Do niego zaś dodajemy, to co odcięliśmy, czyli \(\displaystyle{ 45}\) i już jest \(\displaystyle{ 291}\). Nie mamy pewności co do tej liczby, więc czynimy to samo. Odcinamy \(\displaystyle{ 91}\), \(\displaystyle{ 2}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ 4}\), dodajemy resztę, czyli \(\displaystyle{ 91}\) i... widzimy, że \(\displaystyle{ 95}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), więc i liczba \(\displaystyle{ 12345}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\).

Ach, a jakby ktoś nie był pewny liczby dwucyfrowej, to niech pomnoży cyfrę dziesiątek przez \(\displaystyle{ 3}\), doda cyfrę jedności i powtarza to, aż nie uzyska siódemki.

Cecha druga:
Jedna z najbardziej znanych i jednocześnie nieczęsto praktyczna, warunkiem jest tu liczba większa od \(\displaystyle{ 999}\), czyli co najmniej czterocyfrowa.

Gdy sprawdzamy tą metodą, to musimy od liczby utworzonej z trzech ostatnich cyfr liczby sprawdzanej odjąć liczbę utworzoną z pozostałych cyfr tej liczby i w zależności czy ta różnica jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 7}\) czy też nie, liczba sprawdzona jest podzielna bądź też nie.

Przykład: 54163

Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr, to \(\displaystyle{ 163}\) a druga liczba to \(\displaystyle{ 54}\). Teraz odejmujemy \(\displaystyle{ 163-54 = 109}\), które nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), więc i \(\displaystyle{ 54163}\) nie jest podzielne.

Cecha trzecia:
Finalna cecha podzielności prezentuje się następująco:

Jeżeli mamy daną liczbę \(\displaystyle{ n}\), to dzielimy ją na mniejsze sześciocyfrowe "segmenty" poczynając od prawej. Następnie z każdej z tych sześciocyfrowych liczb wyciągamy poszczególne cyfry i zapisujemy takie oto działanie:

\(\displaystyle{ a_{1}-a_{4}+3 \left( a_{2}-a_{5} \right) +2 \left( a_{3}-a_{6} \right)}\)

Gdzie \(\displaystyle{ a_{k}}\) to cyfra o numerze \(\displaystyle{ k}\), licząc od prawej.

Obliczamy to dla każdej z tych liczb-segmentów, a następnie dodajemy wszystko razem i sprawdzamy, czy ta suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\). Jeżeli jest, to liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\), a jeżeli nie... to chyba jasne .


Przykład: 8012549876321547


Dzielimy ją więc na te "segmenty" (koniecznie od prawej poczynając) i mamy:

\(\displaystyle{ s_{1} = 321547 \\ s_{2} = 549876 \\ s_{3}= 8012}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ s}\) z odpowiednim wskaźnikiem, to kolejny nasz segment i obliczamy:

\(\displaystyle{ 7-1+3 \cdot \left( 4-2 \right) +2 \cdot \left( 5-3 \right) = 6 + 6 + 4 = 16 \\ 6-9+3 \cdot \left( 7-4 \right) +2 \cdot \left( 8-5 \right) = -3 + 9 + 6 = 12 \\ 2-8 +3 \cdot \left( 1-0 \right) +2 \cdot \left( 0-0 \right) = -6 + 3 = -3}\)

Mamy już sumy cząstkowe z każdej z sześciocyfrowych liczb i teraz je dodamy:

\(\displaystyle{ 16 + 12 - 3 = 25}\)

A jak wiemy doskonale \(\displaystyle{ 25}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), więc i liczba \(\displaystyle{ 8012549876321547}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\). Chyba nietrudne?

Praktyka. Przepisy dla liczb różniących się ilością cyfr:
1) Liczba jednocyfrowa: tu raczej problemów nie ma . Tu może być tylko \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 7}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), więc idźmy dalej.

2) Liczba dwucyfrowa: cyfrę dziesiątek mnożymy przez \(\displaystyle{ 3}\) i dodajemy cyfrę jedności, aż nie uzyskamy pewności, że liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\) (czytaj, aż do uzyskania siódemki).

3) Liczba trzycyfrowa: stosujemy pierwszą z cech u góry podanych aż do otrzymania liczby dwucyfrowej i patrz punkt drugi.

4) Liczba czterocyfrowa: stosujemy cechę drugą, a potem patrz punkt trzeci.

5) Liczba pięciocyfrowa: cecha druga, a potem w zależności od wyniku patrz punkt drugi bądź też trzeci.

6) Liczba sześciocyfrowa: cecha druga, punkt trzeci.

7) Liczby większe: albo cecha druga aż do uzyskania trzycyfrowej i punkt trzeci, choć lepiej jest sobie przyswoić cechę trzecią - po niej praktycznie nie trzeba już poprawiać .


Oczywiście przykładzik: 698254

Punkt szósty: \(\displaystyle{ 698 - 254 = 444}\)
Punkt trzeci: \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 + 44 = 8 + 44 = 52}\)
Jak ktoś nie jest pewien, to punkt drugi: \(\displaystyle{ 3 \cdot 5 + 2 = 17}\) i jeszcze raz: \(\displaystyle{ 3 \cdot 1 + 7 = 10}\) i jeszcze jeden: \(\displaystyle{ 3 \cdot 1 + 0 = 3}\).

Teraz już mamy pewność, że siedem nie dzieli \(\displaystyle{ 698254}\).

---

Polecam stosować. Po małym treningu (by "weszło w krew") sprawdzacie liczby szybciej, niż ktoś je wpisze w kalkulator! A jeszcze, gdy jest to kalkulator ośmiopozycyjny, to już nie ma z wami żadnych szans!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
WSPÓLNA CECHA PODZIELNOŚCI DLA 8, 16 i 32

Będę się tu opierał i odwoływał do pierwszej zasady przez \(\displaystyle{ 7}\), więc warto ją pojąć.
Weźmy cechę podzielności przez \(\displaystyle{ 8}\), która widnieje wyżej. Jest tam takie jedno sformułowanie, które czyni ją baaaaardzo niepraktyczną. Chodzi mi tutaj o "jeśli trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę trzycyfrową podzielną przez \(\displaystyle{ 8}\)". Nasuwa się pytanie: skąd mam wiedzieć, czy dana liczba trzycyfrowa jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\)? Trzeba dzielić w głowie, a nie oto przecież chodzi w cechach podzielności, nieprawdaż? Przejdźmy jednak do rzeczy.

Całe sprawdzanie robi się bardzo podobnie, co dla siódemki, z jednym drobnym wyjątkiem: po odcięciu dwóch ostatnich cyfr trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4}\), a nie przez \(\displaystyle{ 2}\) i dodać ową odciętą liczbę. Lecz to jeszcze nie koniec. W zależności jaka wyjdzie nam suma, czy podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), czy przez \(\displaystyle{ 16}\), czy przez \(\displaystyle{ 32}\), to tak też ta pierwotna liczba się dzieli!

Zaprezentujmy przykład:

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ 272}\). Odcinamy \(\displaystyle{ 72}\) i mnożymy \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ 4}\), a następnie sumujemy, otrzymując w rezultacie \(\displaystyle{ 80}\), które jak wiemy jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\), ale i także przez \(\displaystyle{ 16}\), więc i liczba \(\displaystyle{ 272}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 16}\), ale przez \(\displaystyle{ 32}\) już nie. Biorąc za to \(\displaystyle{ 128}\), łatwo przekonujemy się, że dzieli się również przez \(\displaystyle{ 32}\): \(\displaystyle{ 28 + 4 \cdot 1 = 32}\), co z pewnością jest podzielne przez \(\displaystyle{ 32}\), więc chyba wszystko jasne?




Zaktualizowano 15.01.2013r. Ponewor
Ostatnio zmieniony 30 paź 2006, o 11:21 przez Rogal, łącznie zmieniany 4 razy.
ODPOWIEDZ