Nierówności - Kompendium

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Podstaw matematyki
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Nierówności - Kompendium

Post autor: Piotr Rutkowski » 5 lut 2007, o 00:54

Nierówności

Punktem stałym w zadaniach olimpijskich od lat są nierówności (chyba jeden z ulubionych działów wszystkich matematyków). Najczęściej do rozwiązywania nich wykorzystuje się nierówności pomiędzy średnimi, ale nie zawsze one wystarczają. Przedstawię tu spis wszystkich znanych mi nierówności.

Nierówności:
1) Nierówność Cauchy'ego-Schwarza
2) Nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela
3) Nierówność Czebyszewa
4) Nierówność Minkowskiego
5) Nierówność Holdera
6) Nierówność Jensena
7) Nierówność Hardy'ego-Littlewooda-Polyi (czyli nierówność Karamaty)
8) Nierówność Popoviciu
9) Nierówność Nesbitta
10) Nierówność Bernoulliego
11) Nierówność Schura
12) Uogólniona Nierówność Schura
13) Nierówność Turkevici
14) Nierówność Huygensa
15) Nierówność Kirana Kedlaya
16) Nierówność Akerberga
17) Uogólniona nierówność Czebyszewa
18) Nierówność Kantorowicza
19) Nierówność Pietro Mengoli
20) Nierówność Hadwigera-Finslera
21) Nierówność Wilfa
22) Uogólniona nierówność Carlemana
23) Nierówność Hilberta
24) Nierówność Hardy'ego
25) Nierówność Carlesona
26) Nierówność Maclaurina
27) Nierówność Newtona
28) Nierówność Abela
29) Nierówność Muirheada


1) Nierówność Cauchy'ego-Schwarza:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{1},b_{2},...,b_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2} \right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2} \right) \geqslant \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \right) ^{2}}\)

2) Nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela:
Niech \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) to liczby dodatnie, a \(\displaystyle{ b_{1},b_{2},...,b_{n}}\) niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{b_{i}^{2}}{a_{i}} \geqslant \frac{ \left( \sum_{i=1}^{n}b_{i} \right) ^{2}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}}\)

3) Nierówność Czebyszewa:
Dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant ... \geqslant a_{n} \geqslant 0}\) i liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant ... \geqslant b_{n}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}{n} \geqslant \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n}b_{i}}{n}}\)

4) Nierówność Minkowskiego:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{1},b_{2},...,b_{n}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}} \geqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( a_{i}+b_{i} \right) ^{2}}}\)

5) Nierówność Holdera:
Niech \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{1},b_{2},...,b_{n}}\) będą dowolnymi liczbami dodatnimi, a \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takimi liczbami rzeczywistymi, że \(\displaystyle{ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}\). Wtedy zachodzi:

a) Jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są przeciwnych znaków (\(\displaystyle{ p \cdot q<0}\)) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \ge \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p} } \cdot \sqrt[q]{ \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{q} }}\)

b) Jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są tych samych znaków (\(\displaystyle{ p \cdot q>0}\)) powyższa nierówność zachodzi w drugą stronę.

6) Nierówność Jensena:
Dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) wypukłej w przedziale \(\displaystyle{ P \subset \RR}\), dowolnych liczb \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} \in P}\) oraz liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\), takich, że \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ f \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \right) \leqslant \sum_{i=1}^{n}a_{i}f \left( x_{i} \right)}\)
Dla funkcji wklęsłej przy tych samych założeniach nierówność zachodzi w drugą stronę.

7) Nierówność Hardy'ego-Littlewooda-Polyi (Nierówność Karamaty):
Dla rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ y_{1},y_{2},...,y_{n}}\) oraz
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{i} \geqslant y_{1}+y_{2}+...+y_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n-1}\) przy czym \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}\) i \(\displaystyle{ (x_{i},y_{i}) \in X}\) a \(\displaystyle{ f}\) to funkcja wypukła i rosnąca w \(\displaystyle{ X}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n}) \geqslant f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{n})}\)

8) Nierówność Popoviciu:
Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wypukłą w przedziale \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ x,y,z \in X}\) wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) +f \left( y \right) +f \left( z \right) +3f \left( \frac{x+y+z}{3} \right) \geqslant 2f \left( \frac{x+y}{2} \right) +2f \left( \frac{y+z}{2} \right) +2f \left( \frac{z+x}{2}\right).}\)

9) Nierówność Nesbitta:
Dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ (a,b,c) \in \RR_{+}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2}}\)

10) Nierówność Bernoulliego:
Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takimi liczbami rzeczywistymi, że \(\displaystyle{ a>-1}\), \(\displaystyle{ a\neq0,b\neq0}\) i \(\displaystyle{ b\neq1}\) wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ (1+a)^{b} > 1+ab}\) gdy \(\displaystyle{ b>1}\)

11) Nierówność Schura:
Dla \(\displaystyle{ (a,b,c) \in \RR_{+}}\) i \(\displaystyle{ r \in \RR}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ a^{r} \cdot (a-b)(a-c)+b^{r} \cdot (b-a)(b-c)+c^{r} \cdot (c-a)(c-b) \geqslant 0}\)

12) Uogólniona nierówność Schura (Nierówność Vornicu-Schura):
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) to nieujemna funkcja wypukła, to zachodzi:
\(\displaystyle{ f(a)(a-b)(a-c)+f(b)(b-a)(b-c)+f(c)(c-a)(c-b) \geqslant 0}\)

13) Nierówność Turkevici:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}>0}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \left( n-1 \right) \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2} \right) +n\sqrt[n]{ \left( x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n} \right) ^{2}} \geqslant \left( x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right) ^{2}}\)

14) Nierówność Huygensa:
Dla dowolnych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \left( 1+x_{1} \right) \cdot \left( 1+x_{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1+x_{n} \right) \geqslant \left( 1+\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot ...x_{n}} \right) ^{n}}\)

15) Nierówność Kirana Kedlay'a:
Jeśli \(\displaystyle{ An}\) będzie średnią arytmetyczną, natomiast \(\displaystyle{ Gn}\) będzie średnią geometryczną z tych samych liczb dodatnich, wtedy:
\(\displaystyle{ G_{An} \geqslant A_{Gn}}\)

16) Nierówność Akerberga:
Dla liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \ n\geq 2}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \right) ^{n}\geq a_{n} \left( \frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}}{n-1} \right) ^{n-1}}\)

17) Uogólniona nierówność Czebyszewa:
Niech \(\displaystyle{ f,g \ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) będą niemalejącymi funkcjami. Niech \(\displaystyle{ \{a_{i}\}_{i=0}^{n}}\) będzie ciągiem liczb nieujemnych, którego suma wszystkich wyrazów jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1}\leq x_{2}\leq ... \leq x_{n}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}f \left( x_{i} \right) g \left( x_{i} \right) a_{i}\geq \left( \sum_{i=1}^{n}f \left( x_{i} \right) a_{i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n}g \left( x_{i} \right) a_{i} \right)}\)

18) Nierówność Kantorowicza:
Niech \(\displaystyle{ \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}\) będzie niemalejącym ciągiem liczb dodatnich, a \(\displaystyle{ \{w_{k}\}_{k=1}^{n}}\) będzie ciągiem liczb nieujemnych, których suma jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^{n}w_{k}x_{k} \right) \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{w_{k}}{x_{k}} \right) \geq \frac{ \left( x_{1}+x_{n} \right) ^{2}}{4x_{1}x_{n}}}\)

19) Nierówność Pietro Mengoli:
Jeśli \(\displaystyle{ x>1}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}> \frac{3}{x}}\)

20) Nierówność Hadwigera-Finslera:
Dla dowolnego trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz polu \(\displaystyle{ S}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4\sqrt{3}S}\)

21) Nierówność Wilfa:
Niech \(\displaystyle{ P=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}\) będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych. Jeśli \(\displaystyle{ A=\{b_{1},...,b_{n}\}}\) będzie zbiorem pierwiastków zespolonych wielomianu, to dla dowolnej liczb zespolonej \(\displaystyle{ z\notin A}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{|\frac{P'(z)}{P(z)}|}{n\cos \alpha} \geq \left|\frac{a_{n}}{P(z)}\right|^{\frac{1}{n}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest najmniejszym kątem takim, że kąt o miarze \(\displaystyle{ \alpha}\) i wierzchołku w \(\displaystyle{ z}\) zawiera zbiór \(\displaystyle{ A.}\)

22) Uogólniona nierówność Carlemana:
Dla liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb{R}_{+}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{e}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}(2k-1)a_{k}\geq \prod_{k=1}^{n}a_{k}^{\frac{1}{n}}}\)

23) Nierówność Hilberta:
Dla dowolnych ciągów liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty} \ \{b_{k}\}_{k=1}^{\infty}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \pi \sqrt{ \left( \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{2} \right) \left( \sum_{l=1}^{\infty}b_{l}^{2} \right) }\geq \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{a_{k}b_{l}}{k+l}}\)

24) Nierówność Hardy'ego:
Dla dowolnej całkowalnej funkcji \(\displaystyle{ f:(0,T)\rightarrow \mathbb{R}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{T} \left( \frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}f \left( u \right) du \right) ^{2}dx\leq 4\int\limits_{0}^{T}f^{2} \left( x \right) dx}\)

25) Nierówność Carlesona:
Niech \(\displaystyle{ f:\left\langle 0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie wypukłą funkcją taką, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ a>-1}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}x^{a}e^{-\frac{f(x)}{x}}dx\leq e^{a+1}\int\limits_{0}^{\infty}x^{a}e^{-f'(x)}dx}\)

26) Nierówność Maclaurina:
Niech \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, natomiast \(\displaystyle{ \forall_{k\in \{1,2,...,n\}}S_{k}=\frac{\sum_{sym}a_{1}a_{2}...a_{k}}{{n\choose k}}}\).
Wtedy dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in \{1,2,...,n\} \ a\leq b}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ S_{a}^{\frac{1}{a}}\geq S_{b}^{\frac{1}{b}}}\)

27) Nierówność Newtona:
Niech \(\displaystyle{ a_{1},...,a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ S_{k}}\) będą zdefiniowane jak powyżej. Wtedy dla dowlnej liczby \(\displaystyle{ c\in \{2,...,n\}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ S_{c}^{2}\geq S_{c-1}S_{c+1}}\)

28) Nierówność Abela:
Dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_{1},z_{2},...,z_{n}}\) zdefinujmy \(\displaystyle{ S_{k}=z_{1}+z_{2}+...+z_{k} \ k\in \{1,2,...,n\}}\). Dla dowolnego nierosnącego ciągu liczb nieujemnych \(\displaystyle{ \{a_{i}\}_{i=1}^{n}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |\sum_{i=1}^{n}a_{i}z_{i}|\leq a_{1}\max_{k\in \{1,2,...,n\}}S_{k}}\)

29) Nierówność Muirheada:
Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) będą liczbami rzeczywistymi. Niech \(\displaystyle{ a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{k} \ k\in \{1,2,...,n\}}\) będą ciągami liczb rzeczywistych spełniającymi warunki:
I)\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}a_{i}=\sum_{i=1}^{k}b_{i}}\)
II)\(\displaystyle{ \forall_{j\in \{1,2,...,n\}}\sum_{i=1}^{j}a_{i}\geq \sum_{i=1}^{j}b_{i}}\)
Wtedy zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{sym}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{k}^{a_{k}}\geq \sum_{sym}x_{1}^{b_{1}}x_{2}^{b_{2}}...x_{k}^{b_{k}}}\)


To by było na tyle, jeśli ominąłem jakąś nierówność, to niech ktoś ją tu wrzuci za mnie :razz:
Tak właściwie, to mógłbym wrzucić jeszcze kilka (-naście?) nierówności, ale dotyczą one w większości przestrzeni unitarnych, całek itd. itp., a jako że ten artykuł jest stworzony z myślą o olimpiadzie to postanowiłem się ograniczyć tylko do wybranych.

---

Dziękuję też poniższym użytkownikom (cytuję ich posty bez żadnej zmiany):

mol_ksiazkowy:
nierówność Karlemana: \(\displaystyle{ a_j>0 \rightarrow \sum_{j=1}^{n} \sqrt[j] {a_1.....a_j} \prod_{j=1}^{n} (1+a_j) \geq (1+\sqrt[n] {a_1.....a_j})^n}\)

! nierówność Radona: \(\displaystyle{ a_j, b_j >0, p>0 \rightarrow \sum_{j=1}^{n} \frac{a_j^{p+1}}{b_j^p} \geq \frac{(\sum_{j=1}^{n} a_j)^{p+1}}{(\sum_{j=1}^{n} b_j)^p}}\)

II n. Minkowskiego : \(\displaystyle{ a_j, b_j >0 \rightarrow \sqrt[n]{a_1....a_n} + \sqrt[n]{b_1....b_n} \leq \sqrt[n]{(a_1+b_1)....(a_n+b_n)}}\)
przy czym równośc jest wtw. gdy:
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1}=.....=\frac{a_n}{b_n}}\)

Dowód uzyska sie z faktu SA>SG, odpowiednio przekształcajac, lub...z n. Jensena



baQs:
nierówność Shapiro:
\(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ... , x_n \in \NN \wedge (n \leqslant 12\text{ gdy }n\text{ parzyste} \vee\ n \leqslant 23\text{ gdy }n\text{ nieparzyste})}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1} + x_{i+2}} \geqslant \frac{n}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n=3}\), nierówność przyjmuje postać nierówności Nesbitta wymienionej wcześniej.


Wszelkie sugestie i/lub poprawki mile widziane :wink:

---

Dodane 2012.11.01

Podziękowania należą się też użytkownikowi Ponewor, który pomógł naprawić poważne błędy (kilka nierówności zostało "uciętych"), które powstały dawno temu w czasie zmiany silnika forum.
Ostatnio zmieniony 22 lut 2009, o 19:21 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 5 razy.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8528
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2759 razy
Pomógł: 703 razy

Nierówności - Kompendium

Post autor: mol_ksiazkowy » 24 kwie 2014, o 16:52

Punktem stałym w zadaniach olimpijskich od lat są nierówności (chyba jeden z ulubionych działów wszystkich matematyków). Najczęściej do rozwiązywania nich wykorzystuje się nierówności pomiędzy średnimi, ale nie zawsze one wystarczają.
30. Nierówność Aczéla:
Jeśli \(\displaystyle{ a_, …, a_n, b_1, …, b_n >0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_1^2 \geq a_2^2 + ... + a_n^2}\) i
\(\displaystyle{ b_1^2 \geq b_2^2 + ... + b_n^2}\) to:
\(\displaystyle{ a_1b_1 - (a_2b_2 + ... + a_nb_n) \geq \sqrt{(a_1^2 - (a_2^2 + ... + a_n^2) )(b_1^2 - (b_2^2 + ... + b_n^2))}}\)



31. szacowanie średnimi
Jeśli \(\displaystyle{ \begin{cases} x< \frac{b+c}{2}\\y<\frac{a+c}{2 }\\z<\frac{a+b}{2}\end{cases}}\) to \(\displaystyle{ x+y+z <a+b +c}\) (ale nie odwrotnie !)

i analogicznie

32. dla iloczynu
Jeśli \(\displaystyle{ \begin{cases} x< \sqrt{bc}\\y<\sqrt{ac}\\ z<\sqrt{ab} \end{cases}}\) to \(\displaystyle{ xyz <abc}\) (ale nie odwrotnie !)
o ile \(\displaystyle{ a, b, c, \ x, y, z >0}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8528
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2759 razy
Pomógł: 703 razy

Re: Nierówności - Kompendium

Post autor: mol_ksiazkowy » 19 lip 2022, o 09:57

33) Nierówność „sumy kwadratów”
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 \leq \frac{3}{2} (a^2+b^2)}\).


34) Nierówność Hadamarda
Jeśli \(\displaystyle{ f \geq 0}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ [a,b],}\) to \(\displaystyle{ \int_{a}^b f(x) dx \geq (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right).}\)


35) Wzmocnienia Nierówności między średnimi
Jeśli \(\displaystyle{ a, b >0,}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{ab} \leq \frac{1}{3}(a+\sqrt{ab}+b) \leq \frac{a+b}{2}.}\)

36) Nierówność Opiala
Jeśli \(\displaystyle{ f: [0,b] \to \RR}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) i \(\displaystyle{ f \geq 0}\) na \(\displaystyle{ (0,b)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=f(b)= 0,}\) to \(\displaystyle{ \int_{0}^{b} |f(x)f'(x) | dx \leq \frac{b}{4} \int_{0}^{b} |f'(x)|^2 dx.}\)


37) Nierówność Hlawka
Jeśli \(\displaystyle{ A, B,C}\) są liczbami zespolonymi, to \(\displaystyle{ |A+B+C|+ |A| + |B|+|C| \geq |A+B| + |B+C|+ |C+A|.}\)
Ostatnio zmieniony 19 lip 2022, o 10:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.

ODPOWIEDZ