Całka powierzchniowa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
km__87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 28 sie 2008, o 10:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: niegowonice

Całka powierzchniowa

Post autor: km__87 » 9 wrz 2008, o 17:49

Cześć,
jak mam policzyć strumień przez powierzchnię, która to powierzchnia jest np. boczną powierzchnią walca, górną powierzchnią stożka to na ślepo korzystamy z tw. Stokesa?? Mam takie zadanie:

Zadanie 1.
Obliczyć strumień pola \(\displaystyle{ F=[e ^{x},e ^{x+z},e ^{x+y}]}\) przez górną stronę tej części walca parabolicznego \(\displaystyle{ z=x ^{2}}\), która spełnia nierówności \(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant 1}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \leqslant y \leqslant 1}\).

No i teraz ja się właśnie pytam czy widząc takie zadanie to czy tam będzie górna powierzchnia stożka, boczna powierzchnia walca to mnie to jakby rypie tylko na ślepo dokonuję parametryzacji walca lub innej bryły i korzystając ze wzoru z tw. Stokesa liczę sobie całkę w odpowiednich granicach i ten wynik uwzględnia mi już te wszystkie podstawy, denka których nie biorę pod uwagę przy liczeniu strumienia, np. mamy policzyć strumień przez górną powierzchnię stożka to gdy użyję Stokesa to sobie po uwzglednieniu odpowiednich granic policze od razu strumien przez te powierzchnie?? Mam nadzieje ze rozumiecie o co mi chodzi, prosze o wyjasnienie tego klopotu.

A dodatkowo mam tu kilka zadanek ktorcyh niestety nie wiem jak zrobic i po dlugich przemysleniach wrzucam na forum:

Zadanie 2
Obliczyć całkę powierzchniową \(\displaystyle{ \int_{}^{} xyzdS}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest powierzchnią \(\displaystyle{ y ^{2}=x}\) odciętą płaszczyznami \(\displaystyle{ z=0,z=4,y=1,y=2.}\)

Zadanie 3
Obliczyć strumień pola \(\displaystyle{ F=[xy ^{2},x ^{2}y,z ^{3}]}\) przez powierzchnię bryły ograniczoną nierównościami \(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }\leqslant z \leqslant \sqrt{1- x^{2}-y ^{2} }}\)

Oczywiście jak tylko coś wymyślę to sam wrzucę odpowiedź ale jak ktoś wie jak to zrobić proszę o pomoc, pozdrawiam

[ Dodano: 9 Września 2008, 18:01 ]
No i do Zadania 3 wymyśliłem, że jeżeli mamy takie ograniczenie to w efekcie dostaniemy bryłę zamkniętą czyli możemy skorzystać z twierdzenia Gaussa ze ta całka to całka potrójna po objętości bryły powstałej w wyniku ograniczenia a jako funkcja podcałkowa jest dywergencja pola wektorowego F. Mam nadzieję że dobrze, jak co to poprawiajcie, doradzajcie. Jeżeli to prawda co napisałem przed chwilą to zadanie staje się trywialne i sprowadza się do policzenia prostej całki potrójnej po wprowadzeniu choćby współrzędnych walcowych.
Ostatnio zmieniony 7 maja 2021, o 10:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ