Wyznaczyć wzór opisujący normę

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Wyznaczyć wzór opisujący normę

Post autor: niunix98 »

W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) dany jest pewien iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \langle , \rangle}\). Definiujemy normę \(\displaystyle{ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}}\). Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \sup_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 1}\), \(\displaystyle{ \|(1,2)\| = \frac{\sqrt{5}}{3}}\), \(\displaystyle{ \|(-2,1)\| = \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \|(x,y)\|}\).

Rozwiązanie polega na wzięciu macierzy tego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ A}\). Ostatnie dwie równości dają nam dwa równania wiążące niektóre z komórek macierzy. Jak natomiast wykorzystać pierwsze dwie równości? Podobno da się z nich wywnioskować, ile wynoszą wartości własne \(\displaystyle{ A}\), ale nie mam bladego pojęcia jak to zrobić.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Wyznaczyć wzór opisujący normę

Post autor: matmatmm »

niunix98 pisze: 14 paź 2021, o 15:27 \(\displaystyle{ \sup_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 1}\)
Co znaczy \(\displaystyle{ \|x\|_2}\) ?
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Wyznaczyć wzór opisujący normę

Post autor: niunix98 »

\(\displaystyle{ \|x\|_2}\) to druga norma wektora \(\displaystyle{ x}\), tj. standardowa euklidesowa.

Podobno znanym faktem jest, że jeżeli dla przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L:V\to U}\) (gdzie \(\displaystyle{ V, U}\) są unormowane) zdefiniujemy jego normę jako \(\displaystyle{ \|L\| = \sup_{v:\|v\|_V = 1} \|Lv\|_U}\) to \(\displaystyle{ \|L\|}\) będzie maksymalną wartością bezwzględną z wartości własnej \(\displaystyle{ L}\). Czy zna ktoś dowód tego faktu albo wie, pod jaką nazwą mogę go znaleźć? Nie wiem też jakie są założenia na \(\displaystyle{ U, V}\), np. mają skończony wymiar, etc.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Wyznaczyć wzór opisujący normę

Post autor: matmatmm »

Co prawda nie znam dowodu tego faktu, ale każda sfera w \(\displaystyle{ \RR^2}\) w normie pochodzącej od iloczynu skalarnego jest elipsą. Jak skorzystamy z równości \(\displaystyle{ \|(1,2)\|=\frac{\sqrt{5}}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \|(-2,1)\|=\sqrt{5}}\), to widzimy, że do sfery o środku w zerze i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) należą punkty \(\displaystyle{ (-2,1),(2,-1),(3,6),(-3,-6)}\). Z rysunku można odczytać jak ta elipsa jest położona tzn. jest to elipsa o środku w zerze, półosiach równych \(\displaystyle{ \sqrt{5},3\sqrt{5}}\), obrócona o kąt, którego sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{5}}}\) (niestety nie podam algebraicznego dowodu, ale mam wrażenie, że istnieje tylko jedna elipsa, do której należą te cztery punkty). Równanie tej elipsy to \(\displaystyle{ 37x^2-32xy+13y^2=225}\). Z drugiej strony jak napiszemy równanie sfery o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) na podstawie macierzy iloczynu skalarnego i porównamy te równania, to odczytamy współczynniki macierzy: \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}\frac{37}{45} & \frac{-16}{45} \\ \frac{-16}{45} & \frac{13}{45}\end{bmatrix}}\)

Dodano po 25 minutach 20 sekundach:
matmatmm pisze: 22 paź 2021, o 20:20 mam wrażenie, że istnieje tylko jedna elipsa, do której należą te cztery punkty
Wycofuję się z tej tezy. Trzeba użyć tutaj drugiego warunku. Wynika z niego, że punkty \(\displaystyle{ (-2,1), (2,-1)}\) są najbliższymi punktami tej elipsy od środka, a punkty \(\displaystyle{ (3,6),(-3,-6)}\) najdalszymi.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Wyznaczyć wzór opisujący normę

Post autor: niunix98 »

Faktycznie, fajne geometryczne rozwiązanie.

Tak na boku to chyba udało mi się udowodnić fakt, o którym wspomniałem. Może komuś się przyda :wink:

Po pierwsze, trzeba wzmocnić założenia, bo gdy rozpatrzymy sobie \(\displaystyle{ L : \RR^2 \to \RR^2}\) - obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) to takie przekształcenie ma zdefiniowane \(\displaystyle{ \|L\|}\), ale nie ma wartości własnych, czyli jest łatwym kontrprzykładem do tego, co wcześniej napisałem.

Tak więc dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ A : \RR^n \to \RR^n}\) jest przekształceniem symetrycznym.

Wtedy, z twierdzenia spektralnego, istnieje baza ortonormalna \(\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) składająca się z wektorów własnych \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda_i}\) takie, że \(\displaystyle{ Ax_i = \lambda_i x_i}\).

Weźmy wektor \(\displaystyle{ x}\) ze sfery i zobaczmy, jak działa na niego \(\displaystyle{ A}\). Po pierwsze, rozpiszmy go w bazie ortonormalnej: \(\displaystyle{ x = \sum_{i=1}^n x_iv_i}\).

Wtedy \(\displaystyle{ 1 = \|x\|^2 = \langle x,x \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i, \sum_{i=1}^n x_i v_i \right\rangle = \sum_{i=1}^n x_i^2 \langle v_i,v_i \rangle = \sum_{i=1}^n x_i^2}\).

Teraz spójrzmy na \(\displaystyle{ Ax}\):

\(\displaystyle{ Ax = A\left( \sum_{i=1}^n x_i v_i \right) = \sum_{i=1}^n x_i Av_i = \sum_{i=1}^n x_i \lambda_i v_i}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \|Ax\| = \left\| \sum_{i=1}^n x_i \lambda_i v_i \right\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i \lambda_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i \max \lambda_i)^2} = |\max \lambda_i| \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i} = |\max \lambda_i|}\)

Czyli \(\displaystyle{ |\max \lambda_i |}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ \{ \|Ax\| : \|x\|=1\}}\). Zauważmy też, że gdy \(\displaystyle{ j}\) jest indeksem takim, że \(\displaystyle{ |\lambda_j|}\) jest największe to wektor jednostkowy \(\displaystyle{ e_j}\) spełnia równość \(\displaystyle{ \|e_j\|=1}\) oraz \(\displaystyle{ \|Ae_j\| = |\lambda_j| = |\max \lambda_i|}\), więc \(\displaystyle{ |\max \lambda_i|}\) jest istotnie supremum \(\displaystyle{ \{\|Ax\|:\|x\|=1\}}\).
ODPOWIEDZ