Siła i okrąg

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3141 razy
Pomógł: 747 razy

Siła i okrąg

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć siłę z jaką jednorodny okrąg o masie \(\displaystyle{ M}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos(t) \\ y=r \sin(t) \\ z=H \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 \leq t \leq 2\pi}\)
przyciąga masę \(\displaystyle{ m}\), w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Guzzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 10 gru 2012, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 52 razy

Re: Siła i okrąg

Post autor: Guzzi »

Ze względu na symetrię wystarczy policzyć siłę działającą w kierunku osi \(\displaystyle{ Oz}\). Siły działające na kierunki \(\displaystyle{ Ox}\) i \(\displaystyle{ Oy}\) się znoszą.

\(\displaystyle{ F_{z}=Gm \int_{D} \frac{\left( z- z_{0}\right) \lambda\left( x,y,z\right) \dd l }{\left[ \left( x- x_{0} \right) ^{2} +\left( y- y_{0} \right) ^{2}+\left( z- z_{0} \right) ^{2} \right]^{ \frac{3}{2} } }}\)

Punkt, w którym liczymy siłę ma współrzędne:

\(\displaystyle{ P=\left( x_{0}, y_{0}, z_{0} \right)=\left( 0,0,0\right)}\)

Czyli siła będzie równa:

\(\displaystyle{ F_{z}=Gm \int_{D} \frac{z \lambda\left( x,y,z\right) \dd l }{\left[ x^{2} +y^{2}+z^{2} \right]^{ \frac{3}{2} } }}\)

Gęstość liniowa masy okręgu jest stała i równa:

\(\displaystyle{ \lambda\left( x,y,z\right)=\lambda= \frac{M}{2\pi r} }\)

Element \(\displaystyle{ \dd l}\) jest równy:

\(\displaystyle{ \dd l= \sqrt{\left( -r\sin t\right) ^{2} + \left(r\cos t\right) ^{2} +0 ^{2} } \dd t = r \dd t }\)

Czyli siła będzie równa:

\(\displaystyle{ F _{z}= \frac{GMmH}{2\pi r} \int_{0}^{2\pi} \frac{ r\dd t }{\left( \sqrt{r^{2}+ H^{2} } \right) ^{3} }= \frac{GMmH}{2\pi\left( \sqrt{r^{2}+ H^{2} } \right) ^{3}} \int_{0}^{2\pi} \dd t= \frac{GMmH}{\left( \sqrt{r^{2}+ H^{2} } \right) ^{3}}}\)
ODPOWIEDZ