Znaleźć funkcję w R^2 i zbadać dyfeomorfizm

[july04]

Niech \(\displaystyle{ \phi(u,v)=(e ^{u+v}+e^{u-v},e^{u+v}-e^{u-v}) }\) dla \(\displaystyle{ (u,v)\in \RR}\), znaleźć \(\displaystyle{ \phi(\RR^{2})}\), zbadać czy \(\displaystyle{ \phi}\) jest dyfeomorfizmem.

mam problem ze znalezieniem \(\displaystyle{ \phi(\RR^{2})}\).

[a4karo]

Spróbuj rozwiązać ukłąd równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{u+v}+e^{u-v}=x&\\ e^{u+v}-e^{u-v}=y&\end{cases}}\)

Zobacz dla jakich `(x,y)` to sie uda.

[july04]

Czyli:

\(\displaystyle{ u=\ln { \frac{(x+y)e^{v}}{2}} }\)

\(\displaystyle{ v=\ln { \frac{(x+y)e^{u}}{2}} }\)

Jak to mnie zbliża do określenia \(\displaystyle{ \phi(\RR^{2})}\)

[a4karo]

Jakieś podejrzane te wzorki. Pokaż jak rozwiązujesz.

Nie rozwiązałeś, bo po obu stronach ma `u` i `v`

Znajdzie obraz gdy określisz dla jakich `x,y` otrzymane wzory mają sens

[july04]

Szczerze nie widzę metody na rozwiązanie tego układu. Ale jak się przyglądam widzę, że chyba muszę zastosować jakaś funkcję hiperboliczną.

[Jan Kraszewski]

E tam. A z układu

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=x&\\ a-b=y&\end{cases}}\)

umiesz wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)?

JK

[july04]

Chyba zmęczenie zmąciło mi mózg, bo z równania wychodzą mi jakieś bzdury
\begin{cases} e^{u+v} + e^{u-v} = x \\ e^{u+v} -e^{u-v}= y \end{cases}
\begin{cases} e^{u+v} = x - e^{u-v} \\ x - e^{u-v} -e^{u-v}= y \end{cases}
\begin{cases} e^{u+v} = x - e^{u-v} \\ -2e^{u-v}= y -x \end{cases}
\begin{cases} e^{u+v} = x - e^{u-v} \\ e^{u-v}= \frac{ x-y}{2} \end{cases}
\begin{cases} e^{u+v} = x - \frac{ x-y}{2} \\ e^{u-v}= \frac{ x-y}{2} \end{cases}
\begin{cases} e^{u+v} = \frac{ x+y}{2} \\ e^{u-v}= \frac{ x-y}{2} \end{cases}
\begin{cases} e^{u} \cdot e^{v} = \frac{ x+y}{2} \\ e^{u} \cdot e^{-v}= \frac{ x-y}{2} \end{cases}
\begin{cases} \frac{ x-y}{2} \cdot e^{v} \cdot e^{v} = \frac{ x+y}{2} \\ e^{u} = \frac{ x-y}{2} \cdot e^{v} \end{cases}
\begin{cases} e^{2v} = \frac{ x+y}{x-y}\\ e^{u} = \frac{ x-y}{2} \cdot e^{v} \end{cases}
\begin{cases} e^{v} = \sqrt{\frac{ x+y}{x-y}} \\ e^{u} = \frac{ x-y}{2} \cdot \sqrt{\frac{ x+y}{x-y}} \end{cases}

Ale ogólnie co może znaczyć ta treść "znajdź \(\displaystyle{ \phi (\RR^{2})}\) nie rozumiem tego polecenia z zadania i czy jest jakiś sposób który wymaga małej ilości rachunków aby znaleźć tą funkcję. Czy chodzi o wykres?

[Jan Kraszewski]

No jak nie rozumiesz polecenia, to nie dziwię się, że masz problemy...

Masz wyznaczyć obraz funkcji \(\displaystyle{ \phi}\), czyli jej zbiór wartości.

JK

[a4karo]

Strasznie pogmatwane. Najprościej raz dodać do siebie te równania, a potem je odjąć. Wyznaczysz w ten sposób `e^{u+v}` i `e^{u-v}`. Potem logarytm i jeszcze raz taka sama sztuczka dla wyznaczenia `u` i `v`.