Cyrkulacja pola bez twierdzenia Stokesa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
jan1453
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 17 paź 2020, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Cyrkulacja pola bez twierdzenia Stokesa

Post autor: jan1453 »

Proszę o pomoc.

Wyznacz cyrkulację pola \(\displaystyle{ \vec{F} = \left[4x, xyz, z^{2} \right] }\) po prostokącie \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2, z = 4 }\). Zastosuj rachunek bezpośredni.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2020, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Cyrkulacja pola bez twierdzenia Stokesa

Post autor: pkrwczn »

Cyrkulacja jest po prostokącie, więc mamy cztery całki. \(\displaystyle{ \oint \vec{F}\cdot\dd \vec{l}=\int \vec{F}\cdot(\dd\vec{l_1}+\dd\vec{l_2}+\dd\vec{l_3}+\dd\vec{l_4})}\).
\(\displaystyle{ z=4}\), więc \(\displaystyle{ \vec{F}=[4x, 4xy, 16]}\).

Granice całkowania i kierunki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
l_1: & 0\le x\le 1 & y=0 & \dd\vec{l_1}=\hat{i}\dd l_1\\
l_2: & x=1 & 0\le y\le 2 & \dd\vec{l_2}=\hat{j}\dd l_2\\
l_3: & 0\le x \le 1 & y=2 & \dd\vec{l_3}=-\hat{i}\dd l_3\\
l_4: & x=0 & 0\le y \le 2 & \dd\vec{l_4}=-\hat{j}\dd l_4\\
\end{array}}\)


\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} 4x\dd x+ \int_{0}^{2} 4y\dd y- \int_{0}^{1} 4x\dd x- \int_{0}^{2} 0\ \dd y=\left[ 2y^2\right] _0^2=8}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Cyrkulacja pola bez twierdzenia Stokesa

Post autor: janusz47 »

Co to za zapis różniczek:

\(\displaystyle{ d\vec{l}_{1} = \vec{i}dl_{1}, \ \ d\vec{l}_{2} = \vec{j}dl_{2}, \ \ d\vec{l}_{3} = -\vec{i}dl_{3}, \ \ d \vec{l}_{4} = -\vec{j}dl_{4} ,}\)

gdzie je Pan wykorzystuje w obliczeniu bezpośrednim całki krzywoliniowej po prostokącie ?

Dlaczego Pan podstawił \(\displaystyle{ z^2 = 4^2 = 16 }\) w trzeciej współrzędnej pola wektorowego? Czy dlatego, że cyrkulacja odbywa się na wysokości \(\displaystyle{ z = 4 ?}\)


Cyrkulacja pola w oparciu o twierdzenie Stokesa

\(\displaystyle{ \oint_{(K)} X dx +Y dy + Z dz = \iint_{(S)} \left(\frac {\partial Z}{ \partial y} -\frac {\partial Y}{ \partial z} \right) dy dz + \left(\frac {\partial X}{ \partial z} -\frac {\partial Z}{\partial x} \right) dz dx + \left(\frac{\partial Y}{ \partial x} -\frac {\partial X}{ \partial y} \right) dx dy .}\)

\(\displaystyle{ \oint_{(ABCD)} 4xdx +4xydy + z^2 dz = \iint_{(S)}(0-0) dydz + (0 - 0)dydz + (4y-0)dx dy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}4y dxdy = \int_{0}^{2} 4yx|_{0}^{1} dy = \int_{0}^{2}4y dy = }\)
\(\displaystyle{ = 2y^2|_{0}^{2} = 8.}\)

Dodano po 15 godzinach 31 minutach 52 sekundach:
Metoda bezpośrednia (w oparciu o definicję całki krzywoliniowej skierowanej)

Parametryzacja boków (odcinków) prostokąta \(\displaystyle{ ABCD }\) o wierzchołkach:

\(\displaystyle{ A = ( 0, 0), \ \ B = (1, 0), \ \ C = (1, 2), \ \ D = (0, 2): }\)

\(\displaystyle{ [\overline{AB}] = \left(\begin{matrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0+ (1- 0)t \\ 0+ (0-0)t\\4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} t \\ 0 \\ 4\end{matrix} \right), 0 \leq t \leq 1.}\)

\(\displaystyle{ [\overline{BC}] = \left(\begin{matrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 +(1- 1)t\\ 0 + (2-0)t \\ 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 2t \\ 4 \end{matrix} \right), 0 \leq t \leq 1.}\)

\(\displaystyle{ [\overline{CD}] = \left(\begin{matrix} x(t) \\ y(t)\\ z(t) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 +(0- 1)t\\ 2 + (2-2)t \\ 4\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 - t \\ 2\\ 4 \end{matrix} \right), 0 \leq t \leq 1.}\)

\(\displaystyle{ [\overline{DA}] = \left(\begin{matrix} x(t) \\ y(t)\\z(t) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 +(0- 0)t\\ 2 + (0-2)t \\4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0\\ 2 - 2t \\ 4 \end{matrix} \right), 0 \leq t \leq 1.}\)

Z własności addytywności całki krzywoliniowej skierowanej

\(\displaystyle{ \oint_{(ABCDA)} \vec{F} = \int_{[\overline{AB}]} \vec{F} + \int_{[\overline{BC}]}
\vec{F} + \int_{[\overline{CD}]} \vec{F} + \int_{[\overline{DA}]} \vec{F}, }\)


obliczamy wartość każdej z całek osobno:

\(\displaystyle{ \int_{[\overline{AB}]} \vec{F} = \int_{0}^{1} [ 4t, 0, 16]\cdot [1, 0, 0] dt = \int_{0}^{1}4t dt = 2t^2|_{0}^{1} = 2, }\)

\(\displaystyle{ \int_{[\overline{BC}]} \vec{F} = \int_{0}^{1} [ 4, 8t, 16]\cdot [0, 2, 0] dt = \int_{0}^{1}16t dt = 8t^2|_{0}^{1} = 8, }\)

\(\displaystyle{ \int_{[\overline{CD}]} \vec{F} = \int_{0}^{1} [ 4-4t, 8 -8t, 16]\cdot [-1, 0, 0] dt = \int_{0}^{1}(-4 +4t) dt =-4t +2t^2|_{0}^{1} = -2, }\)

\(\displaystyle{ \int_{[\overline{CD}]} \vec{F} = \int_{0}^{1} [ 0, 0, 16]\cdot [0, -2, 0] dt = \int_{0}^{1}0 dt = 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \oint_{(ABCDA)} \vec{F} = 2 + 8 -2 +0 = 8.}\)

Metoda w oparciu o twierdzenie Stokesa (korekta)

\(\displaystyle{ \oint_{(K)} X dx +Y dy + Z dz = \iint_{(S)} \left(\frac {\partial Z}{ \partial y} -\frac {\partial Y}{ \partial z} \right) dy dz + \left(\frac {\partial X}{ \partial z} -\frac {\partial Z}{\partial x} \right) dz dx + \left(\frac{\partial Y}{ \partial x} -\frac {\partial X}{ \partial y} \right) dx dy,}\)

\(\displaystyle{ \oint_{(ABCD)} 4xdx +4xydy + z^2 dz = \iint_{(S)}(0-xy) dydz + (0 - 0 )dydz + (yz-0)dx dy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}yz dxdy = \int_{0}^{2} yz dy = z\int_{0}^{2}y dy = 2z = }\)
\(\displaystyle{ = 2\cdot 4 = 8.}\)
ODPOWIEDZ