Witam, jak obliczyć cyrkulację pola wektorowego \(\displaystyle{ w=[y,z,x]}\) wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ K}\), jeżeli kontur \(\displaystyle{ K}\) jest opisany okręgiem \(\displaystyle{ x=a\cos^{2} (t), y= \sqrt{2}a\sin(t)\cos(t), z=a\sin^{2}(t) }\) dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi}\) , a \(\displaystyle{ S}\) kołem ograniczonym tym okręgiem.
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} P \dd x +Q \dd y+R \dd z = \int_{K}^{} w∘p \dd s }\) . Jak obliczyć wersor styczny do krzywej \(\displaystyle{ K}\) oraz czego potrzebuje do obliczenia całki?
Pozdrawiam.
Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 cze 2020, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 1 raz
Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
Ostatnio zmieniony 24 cze 2020, o 15:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości: wzdłuż.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości: wzdłuż.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
A jaką znasz definicję cyrkulacji pola wektorowego wzdłuż krzywej? Jeśli kontur zadany jest parametryczne to wygodnie jest policzyć to tak:
\(\displaystyle{ \Gamma= \oint_{K}\mathbf{F}\circ \dd \ell = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\circ \frac{ \dd K }{ \dd t } \dd t = \int_{t_1}^{t_2}\left[ P,Q,R\right] \circ \left[ \frac{ \dd x }{ \dd t}, \frac{ \dd y }{ \dd t}, \frac{ \dd z }{ \dd t} \right] \dd t }\)
gdzie: \(\displaystyle{ t_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ t_2=\pi}\) oraz \(\displaystyle{ P,Q,R}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ y,z,x}\) wstawiamy oczywiście parametryzację \(\displaystyle{ K}\) czyli za \(\displaystyle{ P}\) kładziesz \(\displaystyle{ y}\) a za to \(\displaystyle{ \sqrt{2}a\sin t\cos t }\) i to powtarzasz dla rzeszty. No i do policzenie masz jeszcze trzy pochodne. Podstawiasz wszystko do wzoru i zostaje już standardowa całka do policzenie.
\(\displaystyle{ \Gamma= \oint_{K}\mathbf{F}\circ \dd \ell = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\circ \frac{ \dd K }{ \dd t } \dd t = \int_{t_1}^{t_2}\left[ P,Q,R\right] \circ \left[ \frac{ \dd x }{ \dd t}, \frac{ \dd y }{ \dd t}, \frac{ \dd z }{ \dd t} \right] \dd t }\)
gdzie: \(\displaystyle{ t_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ t_2=\pi}\) oraz \(\displaystyle{ P,Q,R}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ y,z,x}\) wstawiamy oczywiście parametryzację \(\displaystyle{ K}\) czyli za \(\displaystyle{ P}\) kładziesz \(\displaystyle{ y}\) a za to \(\displaystyle{ \sqrt{2}a\sin t\cos t }\) i to powtarzasz dla rzeszty. No i do policzenie masz jeszcze trzy pochodne. Podstawiasz wszystko do wzoru i zostaje już standardowa całka do policzenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 cze 2020, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 1 raz
Re: Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
Takie pytanie. Jak będzie zmieniał się promień koła ograniczonego opisanym okręgiem?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
Nie będzie się zmieniał. Skoro to okrąg to ma stały promień z definicji okręgu.
PS Do policzenie całki nie musimy wiedzieć czy jest to okrąg czy coś innego, podstawiamy parametryzacje.
PS Do policzenie całki nie musimy wiedzieć czy jest to okrąg czy coś innego, podstawiamy parametryzacje.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 cze 2020, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 1 raz
Re: Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
Przepraszam, za źle sformułowane pytanie oraz dziękuje za aktywność w moim temacie. Chciałbym teraz zastosować stwierdzenie Stokesa do obliczenia tej samej całki.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{}(rotF∘ n)dS}\) wiem, że \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi }\). Tu moje pytanie jak wygląda druga granica dla tej całki.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{}(rotF∘ n)dS}\) wiem, że \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi }\). Tu moje pytanie jak wygląda druga granica dla tej całki.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Cyrkulacja pola wektorowego wzdłuż krzywej K.
Możesz tak liczyć cyrkulację tylko wtedy całkujesz \(\displaystyle{ \text{rot} \mathbf{F} \circ n}\) po powierzchni ograniczonej przez to koło (kontur \(\displaystyle{ K}\)). Osobiście nie widzę jak wtedy można by było sparametryzować taką powierzchnię w przestrzeni. Można to też rozbić to na trzy całki powierzchniowe niezorientowane po rzutach \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyzny układu ale to też nie jest specjalnie zachęcające. Czyli:
\(\displaystyle{ \iint_{S} \text{rot} \mathbf{F} \circ \dd \mathbf{S} =\iint_{S_{yz}} \text{rot} \mathbf{F}_x\left( x(y,z),y,z\right) \dd y \dd z+\iint_{S_{zx}} \text{rot} \mathbf{F}_y\left( x,y(x,y),z\right) \dd z \dd x +\iint_{S_{xy }} \text{rot} \mathbf{F}_z\left( x,y,z(y,x)\right) \dd x \dd y }\)
gdzie: \(\displaystyle{ \text{rot} \mathbf{F}_i}\) to \(\displaystyle{ i}\) ta współrzędna rotacji czyli zwykła funkcja skalarna. A \(\displaystyle{ S_{ij}}\) to rzut płata \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ ij}\). Wtedy wydaje mi się, że można było by to tak policzyć, że parametryczny płaszczyznę w której znajduje się \(\displaystyle{ K}\) i zarazem \(\displaystyle{ S}\) co nie powinno być trudne bo można wyznaczyć \(\displaystyle{ 3}\) punkty które należą do \(\displaystyle{ K}\). I tą parametryzację kładziemy do każdej z tych całek. Trzeba jeszcze wyznaczyć żuty. Przykładowo rzut na \(\displaystyle{ xy}\) dany jest wnętrzem krzywej powstałej po przyjęciu \(\displaystyle{ z=0}\) w parametryzacji \(\displaystyle{ K}\) czyli jest to wnętrze krzywej (chyba elipsy):
\(\displaystyle{ \gamma: \begin{cases} x= a\cos^2t \\ y=a \sqrt{2}\sin t\cos t \end{cases} }\)
widać, że to dość żmudna procedura nie wiem jak to zrobić inaczej, twierdzenie Stokesa to chyba nie jest wygodna metoda w tym przykładzie.
Dodano po 7 minutach 43 sekundach:
Płaszczyzna w której leży \(\displaystyle{ K}\) dana jest równaniem \(\displaystyle{ x+z=1}\).
\(\displaystyle{ \iint_{S} \text{rot} \mathbf{F} \circ \dd \mathbf{S} =\iint_{S_{yz}} \text{rot} \mathbf{F}_x\left( x(y,z),y,z\right) \dd y \dd z+\iint_{S_{zx}} \text{rot} \mathbf{F}_y\left( x,y(x,y),z\right) \dd z \dd x +\iint_{S_{xy }} \text{rot} \mathbf{F}_z\left( x,y,z(y,x)\right) \dd x \dd y }\)
gdzie: \(\displaystyle{ \text{rot} \mathbf{F}_i}\) to \(\displaystyle{ i}\) ta współrzędna rotacji czyli zwykła funkcja skalarna. A \(\displaystyle{ S_{ij}}\) to rzut płata \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ ij}\). Wtedy wydaje mi się, że można było by to tak policzyć, że parametryczny płaszczyznę w której znajduje się \(\displaystyle{ K}\) i zarazem \(\displaystyle{ S}\) co nie powinno być trudne bo można wyznaczyć \(\displaystyle{ 3}\) punkty które należą do \(\displaystyle{ K}\). I tą parametryzację kładziemy do każdej z tych całek. Trzeba jeszcze wyznaczyć żuty. Przykładowo rzut na \(\displaystyle{ xy}\) dany jest wnętrzem krzywej powstałej po przyjęciu \(\displaystyle{ z=0}\) w parametryzacji \(\displaystyle{ K}\) czyli jest to wnętrze krzywej (chyba elipsy):
\(\displaystyle{ \gamma: \begin{cases} x= a\cos^2t \\ y=a \sqrt{2}\sin t\cos t \end{cases} }\)
widać, że to dość żmudna procedura nie wiem jak to zrobić inaczej, twierdzenie Stokesa to chyba nie jest wygodna metoda w tym przykładzie.
Dodano po 7 minutach 43 sekundach:
Płaszczyzna w której leży \(\displaystyle{ K}\) dana jest równaniem \(\displaystyle{ x+z=1}\).