Twierdzenie Stokesa dla podrozmaitości wymiaru 1

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 5 razy

Twierdzenie Stokesa dla podrozmaitości wymiaru 1

Post autor: Iloczyn tensorowy »

Rozważmy sytuację: Mamy daną \(\displaystyle{ \omega}\) 1-formę dokładną i \(\displaystyle{ C}\) podrozmaitość wymiaru 1 (krzywą) orientowalną z ustaloną orientacją (powiedzmy od punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\)).Wszystko dzieje się w \(\displaystyle{ \mathbb{R^n}}\). Do policzenia jest całka z formy \(\displaystyle{ \omega}\) po krzywej \(\displaystyle{ C}\) .
Skoro \(\displaystyle{ \omega}\) jest formą dokładną, to istnieje jej jakaś pierwotna \(\displaystyle{ u}\). Mamy \(\displaystyle{ du=\omega}\), a wtedy:
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \int_{C}\omega = \int_{C}du= \int_{\partial_{M}C}u=\int_{\{A,B\}}u}\)
\(\displaystyle{ }\)
Gdzie druga równość wynikałaby (?) z twierdzenia Stokesa. (\(\displaystyle{ M}\) jest pewną podrozmaitością tego samego wymiaru taką, że \(\displaystyle{ C \subset M}\)). Brzegiem \(\displaystyle{ C}\) w \(\displaystyle{ M}\) są dwa punkty: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Tylko, że twierdzenie Stokesa wymaga, by orientacja brzegu podrozmaitości była orientacją indukowaną z tej podrozmaitości. Zastanawiam się, w jaki sposób można tę orientację indukowaną, w tym przypadku punktów, ustalić. Jak liczymy całkę po podrozmaitości wymiaru 0?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Twierdzenie Stokesa dla podrozmaitości wymiaru 1

Post autor: Dasio11 »

Brzegiem krzywej idącej od punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) jest \(\displaystyle{ \{ A^-, B^+ \}}\), co oznacza że

\(\displaystyle{ \int \limits_{ \{ A^-, B^+ \} } u = u(B) - u(A)}\).
Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 5 razy

Re: Twierdzenie Stokesa dla podrozmaitości wymiaru 1

Post autor: Iloczyn tensorowy »

Z czego wynika taki właśnie dobór ("\(\displaystyle{ -}\)" przy \(\displaystyle{ A}\) i "\(\displaystyle{ +}\)" przy \(\displaystyle{ B}\))? Czy jest to po prostu umowa, że tak zawsze orientujemy, przy początku i końcu krzywej?
ODPOWIEDZ