całka krzywoliniowa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

potrzebuję obliczyc całke wyznaczając potencjał oraz całkując po odcinku
\(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx - (x+4y+2)dy }\) a=(-1,2), b=(0,1)
U= \(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx \frac{3}{2}x ^{2} -xy +x }\) oraz U= \(\displaystyle{ \int_{}^{}- (x+4y+2)dy =-xy-2y ^{2} -2y}\)
wynik ma być \(\displaystyle{ \frac{11}{2} }\) ale biorąc pod uwagę że wzór to \(\displaystyle{ \int_{}^{} Pdx+Qdy= U(b)-U(a)}\) to to taki wynik w ogóle mi nie wychodzi
i nie wiem co dalej
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: Janusz Tracz »

banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14 potrzebuję obliczyc całke wyznaczając potencjał oraz całkując po odcinku
Zatem do zrobienia są dwie rzeczy. Należy osobno policzyć całkę po odcinku oraz osobno korzystając z potencjału. Wyniki oczywiście musza wyjść te same. Proponuję zacząć od potencjału i aktualnie tylko na tym się skupić.
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14
\(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx - (x+4y+2)dy }\) a=(-1,2), b=(0,1)
Po pierwsze należy sprawdzić czy w ogóle pole wektorowe jest potencjalne czyli innymi słowy czy w ogóle istnieje funkcja potencjału. Jak to zrobić? Co jest warunkiem potencjalności pola? Potem jeśli okaże się, że istnieje funkcja potencjału \(\displaystyle{ U}\) (to wynika z twoich oznaczeń) to trzeba ją znaleźć nie ma to natomiast nic wspólnego z tym:
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14
U= \(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx \frac{3}{2}x ^{2} -xy +x }\) oraz U= \(\displaystyle{ \int_{}^{}- (x+4y+2)dy =-xy-2y ^{2} -2y}\)
Dopiero gdy wyznaczysz potencjał \(\displaystyle{ U}\) to skorzystaj ze wzoru:
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14
wzór to \(\displaystyle{ \int_{}^{} Pdx+Qdy= U(b)-U(a)}\)
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

Po pierwsze należy sprawdzić czy w ogóle pole wektorowe jest potencjalne czyli innymi słowy czy w ogóle istnieje funkcja potencjału. Jak to zrobić? Co jest warunkiem potencjalności pola? Potem jeśli okaże się, że istnieje funkcja potencjału \(\displaystyle{ U}\) (to wynika z twoich oznaczeń) to trzeba ją znaleźć nie ma to natomiast nic wspólnego z tym:
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14
U= \(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx \frac{3}{2}x ^{2} -xy +x }\) oraz U= \(\displaystyle{ \int_{}^{}- (x+4y+2)dy =-xy-2y ^{2} -2y}\)
Dopiero gdy wyznaczysz potencjał \(\displaystyle{ U}\) to skorzystaj ze wzoru:
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:14
wzór to \(\displaystyle{ \int_{}^{} Pdx+Qdy= U(b)-U(a)}\)
[/quote]
pole jest potencjalne ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} =-1 i \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-1}\)
więc jak wyznaczyć potencjał U
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: Janusz Tracz »

banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:41 pole jest potencjalne ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} =-1 i \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-1}\)
Dobrze.
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:41 więc jak wyznaczyć potencjał U
Potencjał to taka funkcja skalarna tu \(\displaystyle{ U(x,y)}\), że jej gradient daje pole wektorowe czyli:

\(\displaystyle{ \nabla U= \left[ P,Q\right] }\)

czyli

\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x} ,\frac{ \partial U}{ \partial y} \right] = \left[ 3x -y+1 , -x-4y-2 \right] }\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = 3x -y+1 \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = -x-4y-2 \end{cases} }\)

wyznacz \(\displaystyle{ U(x,y)}\) które spełnia powyższy układ.
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

Dodano po 9 minutach 2 sekundach:
Janusz Tracz pisze: 1 cze 2020, o 13:48
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:41 pole jest potencjalne ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} =-1 i \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-1}\)
Dobrze.
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 13:41 więc jak wyznaczyć potencjał U
Potencjał to taka funkcja skalarna tu \(\displaystyle{ U(x,y)}\), że jej gradient daje pole wektorowe czyli:

\(\displaystyle{ \nabla U= \left[ P,Q\right] }\)

czyli

\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x} ,\frac{ \partial U}{ \partial y} \right] = \left[ 3x -y+1 , -x-4y-2 \right] }\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = 3x -y+1 \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = -x-4y-2 \end{cases} }\)

wyznacz \(\displaystyle{ U(x,y)}\) które spełnia powyższy układ.
czyli U=[ -4,-6]?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: Janusz Tracz »

Nie. Skąd taki pomysł? Potencjał to jest funkcja skalarna. Scałkuj pierwsze równanie po \(\displaystyle{ x}\) i podstaw do drugiego.
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

Janusz Tracz pisze: 1 cze 2020, o 14:11 Nie. Skąd taki pomysł? Potencjał to jest funkcja skalarna. Scałkuj pierwsze równanie po \(\displaystyle{ x}\) i podstaw do drugiego.
jak scałkuje pierwsze po x to będzie \(\displaystyle{ \frac{3}{2} x^{2}-xy+x }\) a jak je podstawiam to po prostu \(\displaystyle{ \frac{3}{2} x^{2}-xy+x }\)+(-x-4y+2) bo nie za bardzo jak mam je podstwić
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: Janusz Tracz »

banka321 pisze: 1 cze 2020, o 14:21 jak scałkuje pierwsze po x to będzie \(\displaystyle{ \frac{3}{2} x^{2}-xy+x }\)
Ale co to jest? Poza tym to nie jest scałkowane poprawnie. Jak scałkujesz to masz \(\displaystyle{ U(x,y)= \frac{3}{2} x^{2}-xy+x +C(y)}\). I to jest dopiero potencjał wyznaczony co do stałej zależnej od \(\displaystyle{ y}\).
banka321 pisze: 1 cze 2020, o 14:21 bo nie za bardzo jak mam je podstwić
Bo nie napisałaś co to jest. Teraz gdy już wiesz, że to \(\displaystyle{ U}\) to to \(\displaystyle{ U}\) podstaw do drugiego równania i wyznacz \(\displaystyle{ C(y)}\).
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

Bo nie napisałaś co to jest. Teraz gdy już wiesz, że to [latex pisze:U[/latex] to to \(\displaystyle{ U}\) podstaw do drugiego równania i wyznacz \(\displaystyle{ C(y)}\).
C(y)=-2x-4y+2-\(\displaystyle{ \frac{3}{2} x ^{2} }\)+ xy ?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: Janusz Tracz »

Nie.
banka321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: całka krzywoliniowa

Post autor: banka321 »

Janusz Tracz pisze: 1 cze 2020, o 16:43 Nie.
nie wiem jak to inaczej podstawić
ODPOWIEDZ