Twierdzenie Stokesa- obliczenie cyrkulacji

[truskawak]

Korzystając z Twierdzenia Stokesa, obliczyć cyrkulację wektora \(\displaystyle{ F}\) po krzywej zamknietej \(\displaystyle{ K}\) (zadanie 22.24 ze zbioru zadań Leitnera, przykłady a,g,i)

a) \(\displaystyle{ F=[yz,xz,xy],\ K}\) - łamana \(\displaystyle{ OABO}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ O=(0,0,0), A=(1,1,0), B=(2,3,5)}\)

g) \(\displaystyle{ F=[ x ^{2} y^{3} , 1,z],\ K=\{ x^{2} + y^{2}= a^{2} , z=0\}}\), jako płat napięty na okręgu \(\displaystyle{ K}\) można przyjąć koło albo półsferę

i) \(\displaystyle{ F= [x, y, x+y-1],\ K= \{ x^{2} + y^{2} = a^{2} , x+y+z=a\}}\)

[janusz47]

Pozostanę wierny oznaczeniom w książce [1] Śp. Pana Profesora Romana Leintera, którego osobiście znałem i bardzo ceniłem.

Równanie twierdzenia Stokesa

\(\displaystyle{ \oint_{(K)} \vec{F}\cdot \vec{dl} = \iint_{(S)} rot\vec{F}\cdot \vec{dS} }\)

\(\displaystyle{ rot \vec{F} =\left [ \frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}, \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x},\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right] }\)

a)

\(\displaystyle{ \vec{F} = [ yz, xz, xy] }\)

\(\displaystyle{ rot \vec{F} = [ x - x,\ \ y -y, \ \ z - z] = [0, 0, 0] }\)

\(\displaystyle{ \oint_{(K)} \vec{F}\cdot \vec{dl} = \iint_{(S)} rot\vec{F}\cdot \vec{dS} = 0 }\)

Rotacja pola \(\displaystyle{ \vec{F} }\) w obszarze powierzchniowo-jednospójnym \(\displaystyle{ (K) }\) jest wektorem zerowym, więc na podstawie twierdzenia Stokesa cyrkulacja wektora \(\displaystyle{ \vec{F} }\) po krzywej zamkniętej jest zerem i w obszarze \(\displaystyle{ (K) }\) istnieje potencjał pola (pole \(\displaystyle{ \vec{F} }\) jest potencjalne).

[1] Roman Leintner. zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych część II. WNT Warszawa 1990.

Dodano po 17 godzinach 58 minutach 4 sekundach:

Może jeszcze jeden przykład wymagający trochę więcej rachunków ze zbioru zadań [2].
g)

\(\displaystyle{ \vec{F} = [ x^2y^3, \ \ 1, \ \ z ] }\)

\(\displaystyle{ (K) = \{ (x,y,z)\in \RR^3 : x^2 + y^2 + a^2, \ \ z=0 \} }\)

\(\displaystyle{ rot \vec{F} = (0-0) \vec{e}_{x} + (0 -0) \vec{e}_{y} + (0 - 3x^2y^2) \vec{e}_{z} = -3x^2y^2\vec{e}_{z}. }\)

Współrzędne walcowe

\(\displaystyle{ x(r, \phi) = r\cos(\phi), }\)

\(\displaystyle{ y(r, \phi) = r\sin(\phi) }\)

\(\displaystyle{ z(r, \phi)= 0}\)

Współrzędne wektorów stycznych

\(\displaystyle{ \vec{t}_{r} = \cos(\phi)\vec{e}_{x} + \sin(\phi)\vec{e}_{y}, }\)

\(\displaystyle{ \vec{t}_{\phi} = -r \sin(\phi)\vec{e}_{x} + r\cos(\phi)\vec{e}_{y}. }\)

Ich iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ \vec{t}_{r} \times \vec{t}_{\phi} = ( \cos(\phi)\vec{e}_{x} + \sin(\phi)\vec{e}_{y}) \times (-r \sin(\phi)\vec{e}_{x} + r\cos(\phi)\vec{e}_{y})= r\vec{e}_{z}. }\)

\(\displaystyle{ \oint_{(K)} \vec{F}\cdot d\vec{l} = \iint_{(S)} rot \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_{(G)} [-3r^4 \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) \vec{e}_{z} \cdot r\vec{e}_{z})] dr d\phi = -3\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^5\sin^2(\phi)\cos^2(\phi) dr d\phi = }\)

\(\displaystyle{ = -\frac{3a^6}{6} \int_{0}^{2\pi}[\sin(\phi)\cos(\phi)]^2= -\frac{1}{2}a^6 \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} sin^2(2\phi)d\phi = -\frac{1}{8}a^6 \int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos(4\phi)}{2} d\phi = -\frac{1}{16} a^6 \int_{0}^{2\pi} ( 1 -\cos(4\phi))d\phi = }\)
\(\displaystyle{ =-\frac{2\pi}{16}a^6 - \frac{2\pi}{64}\sin(4\phi)\mid _{0}^{2\pi}= -\frac{\pi}{8}a^6 - 0 = -\frac{\pi}{8}a^6 .}\)

[2] Roman Leitner, Wojciech Matuszewski, Zdzisław Rojek. zadania z matematyki wyższej. część II WNT Warszawa 1999.