Moment bezwładności

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
xena87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 1 maja 2020, o 15:13
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Moment bezwładności

Post autor: xena87 »

Obliczyć moment bezwładności jednorodnych płatów powierzchniowych względem wskazanych osi:
\(\displaystyle{ \Sigma}\) połowa powierzchni bocznej walca \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\),gdzie \(\displaystyle{ x \ge 0, -2 \le z \le 2}\), o masie \(\displaystyle{ M}\), względem osi Ox
Gęstość obliczamy ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{M}{\text{pole}( \Sigma )}}\).

Poratujcie!!
Odpowiedź do zadanie podobnego gdzie z jest w przedziale \(\displaystyle{ -h \le z \le h}\) jest taka \(\displaystyle{ \frac{1}{6}M(3r ^{2}+2h ^{2} ) }\)
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Moment bezwładności

Post autor: pkrwczn »

Wzór na moment bezwładności, \(\displaystyle{ I=\int r^2 \dd m=\int r^2\rho\dd S}\), gdzie gęstość \(\displaystyle{ \rho=\frac{M}{2\pi R\cdot 2h}}\). Element powierzchni \(\displaystyle{ dS=R\dd \phi \dd z}\), odległość od osi \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ r=\sqrt{R^2\sin^2\phi+z^2}}\), granice całkowania \(\displaystyle{ -h<z<h}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le\phi<2\pi}\), więc będzie dla całej powierzchni walca.
\(\displaystyle{ I=\rho\int r^2 \dd S=\frac{M}{4\pi Rh}\int_{-h}^h \int_{okres}(R^2\sin^2\phi+z^2)R\dd \phi \dd z=\frac{M}{\pi h}\int_0^h \int_0^{\pi}(R^2\sin^2\phi+z^2)\dd \phi \dd z=\frac{1}{6}M(3R^2+2h^2) .}\)

Wynik jest dla całej powierzchni, więc dla połowy mamy \(\displaystyle{ I_x=\frac{1}{12}M(3R^2+2h^2) .}\)
ODPOWIEDZ