całka powierzchniowa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
xena87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 1 maja 2020, o 15:13
Płeć: Kobieta
wiek: 30

całka powierzchniowa

Post autor: xena87 »

mam takie 3 zadanka i nie wiem jak się za nie zabrać.
Obliczyć całkę powierzchiową
\(\displaystyle{ 1. f(x,y,z)=6x+4y+3z,\ \Sigma -}\) część płaszczyzny \(\displaystyle{ x+2y+3x=6 dla x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ 2. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=x y^{2} \sqrt{4+x ^{2} },\ \Sigma -}\) powierzchnia walca hiperbolicznego \(\displaystyle{ z=1-x ^{2} }\) leżącego nad kwadratem \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1}\)\(\displaystyle{
3. 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥 ^{2} +𝑧 ^{2},\ \Sigma –}\)
część sfery \(\displaystyle{ 𝑥 ^{2} +𝑦 ^{2} +𝑧 ^{2} =4 }\) odcięta płaszczyznami \(\displaystyle{ 𝑧=0}\) i \(\displaystyle{ 𝑧=1}\)
Ostatnio zmieniony 4 sie 2020, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: całka powierzchniowa

Post autor: janusz47 »

1.
Całka powierzchniowa funkcji skalarnej.

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f }\) punktu \(\displaystyle{ P(x,y,z) }\) jest ciągła i ograniczona na płacie \(\displaystyle{ (\Sigma) }\) o równaniu \(\displaystyle{ z = z(x,y), \ \ (x,y)\in G, }\) to całka powierzchniowa funkcji \(\displaystyle{ f }\) po płacie \(\displaystyle{ (\Sigma) }\) istnieje i zachodzi równość

\(\displaystyle{ \iint_{(\Sigma)}f(P)dS = \iint_{(G)} f(x,y, z(x,y)) \sqrt{z^2_{x} +z^2_{y} +1} dx dy \ \ (*) }\)

Z równości \(\displaystyle{ (1) }\) wynika, że przejście od całki powierzchniowej do całki podwójnej polega na wprowadzeniu:

1) funkcji określającej powierzchnię całkowania,

2) odpowiedniego wyrażenia na różniczkę płata,

3) odpowiedniego obszaru całkowania.
..................................................................................................................................................................................

1) Funkcja określająca powierzchnię całkowania

\(\displaystyle{ f(x,y, z(x,y)) = 6x +4y + 3\left( 2 - \frac{2}{3}y -\frac{1}{3}x \right) = 6x +4y + 6 -2y -x = 5x +2y +6. }\)

2) Różniczka płata

\(\displaystyle{ z_{x} = -\frac{1}{3}, \ \ z_{y} = -\frac{2}{3}. }\)

\(\displaystyle{ dS = \sqrt{ z^2_{x} + z^2_{y} + 1} dx dy = \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 +1} dx dy = \sqrt{\frac{14}{9}} dxdy = \frac{\sqrt{14}}{3} dxdy.}\)

3) Obszar całkowania

\(\displaystyle{ (G) =\left \{ (x,y): 0 \leq x \leq 6, \ \ 0 \leq y \leq -\frac{1}{2}x +3 \right \}.}\)


Z \(\displaystyle{ 1), 2), 3) }\) i \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ \iint_{(\Sigma)}f(P)dS = \int_{0}^{6} \int_{0}^{-\frac{1}{2}x +3} (5x + 2y + 6) \frac{\sqrt{14}}{3} dy dx = ...= 54\sqrt{14}.}\)
ODPOWIEDZ