Wyznacz współrzędne środków masy łuku jednorodnego.
Witam, mam do zrobienia taki o to przykład
Półokrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wraz z średnicą.
Wiem jak go zrobić jednak muszę współrzędną \(\displaystyle{ y_c}\) zapisać jako sumę dwóch całek po półokręgu oraz odcinku i tutaj złapałem zwieche ale po kolei.
Na początku wprowadziłem ten półokrąg z średnicą do układu współrzędnych tak aby średnica leżała na prostej \(\displaystyle{ y=0}\) oraz symetralna średnicy była na \(\displaystyle{ x=0}\)
Długość łuku = długości półokręgu + średnica
Długość łuku = \(\displaystyle{ πR+d=πR+2R}\) i to jest dobrze
\(\displaystyle{ x_c=0 }\) ponieważ prosta \(\displaystyle{ x=0 }\) jest osią symetrii łuku jednorodnego to i środek masy leży na tej prostej
Teraz ta całka:
\(\displaystyle{ y_c= \frac{1}{πR+2R} \int_{0}^{ \pi } R\sin t \sqrt{[(R\cos t)']^2+[(R\sin t)']^2}dt + \frac{1}{πR+2R} \int_{?}^{?} ydl }\) oraz jakie jest \(\displaystyle{ dl}\)?
Jak policzę tą całkę pierwszą to wychodzi poprawny końcowy wynik jednak nie jestem pewien czy to jest poprawnie zapisane oraz jak zapisać tą drugą całkę po odcinku. Ja wiem że wyjdzie 0 bo to jest prosta \(\displaystyle{ y=0}\) ale muszę to jakoś zapisać. Proszę o pomoc.
Wyznacz współrzędne środków masy łuku jednorodnego.
-
ILikeTurtlesGDamn
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 30 kwie 2020, o 11:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
Wyznacz współrzędne środków masy łuku jednorodnego.
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2020, o 15:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
-
pkrwczn
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Wyznacz współrzędne środków masy łuku jednorodnego.
Wzory na środek masy \(\displaystyle{ x_c=\frac{1}{L}\int_{l}x\dd l}\), \(\displaystyle{ \ \ \ y_c=\frac{1}{L}\int_{l}y\dd l}\).
Długość łuku \(\displaystyle{ L=R(\pi+2)}\). Łuk \(\displaystyle{ l}\) składa się ze średnicy i półokręgu, i dla półokręgu zastosujemy współrzędne biegunowe a dla średnicy mogą być kartezjańskie.
\(\displaystyle{ x_c=\frac{1}{L} \left( \int_{średnica}x\dd l + \int_{półokrąg}x\dd l\right) =\frac{1}{L} \left( \int_{-R}^R x\dd x + \int_0^{\pi} R\cos\phi \dd \phi\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ y_c=\frac{1}{L} \left( \int_{średnica}y\dd l + \int_{półokrąg}y\dd l\right) =\frac{1}{R(\pi+2)} \left( \int_{x=-R}^{x=R}0\cdot \dd x + \int_0^{\pi}R\sin\phi\cdot R\dd \phi\right)=\frac{R}{\pi+2}\int_0^{\pi}\sin\phi\dd\phi=\frac{2R}{\pi+2}}\)
Długość łuku \(\displaystyle{ L=R(\pi+2)}\). Łuk \(\displaystyle{ l}\) składa się ze średnicy i półokręgu, i dla półokręgu zastosujemy współrzędne biegunowe a dla średnicy mogą być kartezjańskie.
\(\displaystyle{ x_c=\frac{1}{L} \left( \int_{średnica}x\dd l + \int_{półokrąg}x\dd l\right) =\frac{1}{L} \left( \int_{-R}^R x\dd x + \int_0^{\pi} R\cos\phi \dd \phi\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ y_c=\frac{1}{L} \left( \int_{średnica}y\dd l + \int_{półokrąg}y\dd l\right) =\frac{1}{R(\pi+2)} \left( \int_{x=-R}^{x=R}0\cdot \dd x + \int_0^{\pi}R\sin\phi\cdot R\dd \phi\right)=\frac{R}{\pi+2}\int_0^{\pi}\sin\phi\dd\phi=\frac{2R}{\pi+2}}\)