Zadanie ze stożkiem

[mol_ksiazkowy]

Obliczyć pole części powierzchni \(\displaystyle{ z= \sqrt{R^2 - x^2- y^2} }\), która jest wewnątrz stożka \(\displaystyle{ x^2+y^2= 3z^2}\).

[kerajs]

W układzie XOZ:
\(\displaystyle{ x_0^2+z_0^2=R^2\\
3 z_0^2+z_0^2=R^2\\
z_0= \frac{R}{2} }\)

\(\displaystyle{ P=2 \pi Rh=2 \pi R(R-z_0)= \pi R^2 }\)

[kerajs]

Drugie podejście:
\(\displaystyle{ P= \int_{D}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2} \dd D=\int_{D}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+( \frac{-x}{ \sqrt{R^2-x^2-y^2} } )^2+(\frac{-y}{ \sqrt{R^2-x^2-y^2} } )^2} \dd D=\\= \int_{D}^{} \int_{}^{} \sqrt{ \frac{R^2}{R^2-x^2-y^2} } \dd D=...}\)
\(\displaystyle{ D: \\
( \sqrt{ \frac{x^2+y^2}{3}} = \sqrt{R^2-x^2-y^2} \wedge z>0 ) \ \ \Rightarrow \ \ x^2+y^2=( \frac{R \sqrt{3} }{2} )^2}\)
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{2 \pi }( \int_{0}^{ \frac{R \sqrt{3} }{2} } \frac{R}{ \sqrt{R^2-r^2} } r \dd r ) \dd \alpha =2 \pi R(-\sqrt{R^2-r^2} \bigg|_{0}^{ \frac{R \sqrt{3} }{2} } )=2 \pi R( - \frac{R}{2}-(-R))= \pi R^2 }\)