Czy są spełnione założenia twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym

[Nuna]

Mam odwzorowanie \(\displaystyle{ f(x,y)=\left( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \right) }\), chcę sprawdzić czy spełnia ono założenia twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, tzn. czy jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) i czy macierz \(\displaystyle{ f'(p)}\) jest odwracalna dla \(\displaystyle{ p \in intD, D = \RR^{2} \setminus \left\{ (0,0)\right\} }\).
Więc moja macierz to:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \frac{-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & \frac{4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\ \frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & \frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\end{pmatrix} }\)
Ponieważ mam tam ilorazy funkcji ciągłych (nie mam \(\displaystyle{ (0,0)}\) w dziedzinie), to jest to odwzorowanie klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\).
Wyznacznik:
\(\displaystyle{ \frac{8xy(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}} }\)
No i to chyba tego drugiego założenia nie spełnia, bo np. dla punktu \(\displaystyle{ (2,0)}\) wyznacznik jest równy 0. Nie wiem czy dobrze podeszłam do tego zadania.

[Dasio11]

Lepiej przelicz pochodne jeszcze raz, bo wyznacznik powinien wyjść zerowy w każdym punkcie. Wynika to z faktu, że oznaczając \(\displaystyle{ u = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, v = \frac{xy}{x^2+y^2}}\) mamy \(\displaystyle{ u^2 + 4v^2 = 1}\), zatem obraz tego odwzorowania jest zawarty w elipsie.

[Nuna]

Rzeczywiście pominęłam w ogóle fakt, że to jest pochodna iloczynu, dziękuję za zwrócenie uwagi.