Problem z zadaniem - pole wektorowe

[spellthy]

Sprawdzić, że podane pola wektorowe są polami potencjalnymi, znaleźć ich potencjały
\(\displaystyle{ \vec{A} = (x \vec{e_{x}}+y \vec{e_{y}} + z \vec{ e_{z}})\sin\sqrt{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} } }\),
\(\displaystyle{ \vec{B} = yz\vec{e_{x}} + (4y ^{3} -12yz ^{2} + xz ) \vec{e_{y}} + (4z ^{3} - 12y ^{2}z +xy)\vec{ e_{z}} }\)

[Janusz Tracz]

Warunkiem potencjalności pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{\mathbf{A}}}\) jest istnienie skalarnej funkcji potencjału \(\displaystyle{ \phi}\) takiej, że \(\displaystyle{ \text{grad} \phi = \vec{\mathbf{A}} }\) warunek ten sprowadza się do wyzerowania rotacji w każdym punkcie. Więc pytanie o to czy \(\displaystyle{ \vec{\mathbf{A}}}\) jest potencjalne sprawdza się do pytania czy \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{\mathbf{A}} =\vec{\mathbf{0}} }\). Niemniej jednak po chwili namysłu widać, że

\(\displaystyle{ \text{grad} \left( \sin \sqrt{x^2+y^2+z^2}- \sqrt{x^2+y^2+z^2}\cos \sqrt{x^2+y^2+z^2} +C \right) = \vec{\mathbf{A}} }\)

jak to zauważyć:    

Z symetrii zmiennych policzyłem jak musi wyglądać \(\displaystyle{ \phi}\) tak aby \(\displaystyle{ \frac{ \partial \phi}{ \partial x}= x\sin \sqrt{x^2+y^2+z^2} }\). Sprawdza się to do całkowania \(\displaystyle{ \int_{}^{} x\sin \sqrt{x^2+y^2+z^2} \dd x }\) przy czym \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) traktowane są jako stałe.

zatem udało się znaleźć funkcję potencjału \(\displaystyle{ \phi = \sin \sqrt{x^2+y^2+z^2}- \sqrt{x^2+y^2+z^2}\cos \sqrt{x^2+y^2+z^2} +C}\) (a nawet całą ich rodzinę z dokładnością co do stałej).