Dzień dobry. Ponownie wrzucam pytanie nie mając zielonego pojęcia gdzie dokładnie to powinno być więc w razie czego proszę o przeniesienie.
Do meritum. Moglibyście jakoś na przykładach opowiedzieć o formach różniczkowych, iloczynie zewnętrznym i różniczce zewnętrznej? Bo przejście pomiędzy funkcjami a formami różniczkowymi jest dosyć niezrozumiałe na ten moment? I nie jestem pewien czy dobrze to rozumiem.
Jak rozumiem ponieważ \(\displaystyle{ f }\)jest funkcją to mogę zamienić to tylko na 0 i 3 formę różniczkową?
I analogicznie ponieważ \(\displaystyle{ \vec{A} }\)jest polem wektorowym to mogę zamienić to tylko na 1 i 2 formę różniczkową?
Jeśli tak to dlaczego tak się dzieje?
Np na przykładzie
Mam jakąś funkcję 3 zmiennych \(\displaystyle{ f}\) np \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^{3}+xy^{2}z+ e^{2z}}\)
I Pole wektorowe \(\displaystyle{ \vec{A}=x^{3}e_{x}+xy^{2}ze_{y}+ xy^{2}\sin{z}e_{z} }\)
Chciałbym je zamienić na formy.
Odpowiednio 0 i 3 formę oraz 1 i 2 formę
Dopytam się jeszcze jak odczytać symbol sumy który jest w definicji form
\(\displaystyle{ \sum_{i^{1} ....i^{k}=1}^{n}w_{i^{1} ....i^{k}} }\)?
Formy różniczkowe
-
shreder221
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Formy różniczkowe
Funkcja \(\displaystyle{ f(x,y,z) = x^3 + xy^{2}z + e^{2z} }\) jest 0-formą .
Różniczka \(\displaystyle{ \alpha = df(x,y, z) = x^3 dx + xy^{2} dy + e^{2z}dz }\) jest 1 - formą.
\(\displaystyle{ \beta = x^3 dx \wedge dy + xy^{2} dy \wedge dz + e^{2z} dz \wedge dx }\) - jest 2 - formą.
\(\displaystyle{ \eta = xy^{2}z dx \wedge dy \wedge dz }\) - jest 3 formą.
Gradient, wirowość (rotacja) , dywergencja pola wektorowego mogą być interpretowane jako formy różniczkowe.
Obliczając różniczkę zewnętrzną tych form otrzymujemy kolejno
- dla 0 - formy
\(\displaystyle{ df(x,y,z) = 3x^2 dx + 2xyz dy +2 e^{2z} dz = \left[ 3x^2, \ \ 2xyz , \ \ 2e^2z\right] \cdot [ dx. \ \ dy, \ \ dz ] = \nabla f \cdot \vec{ds} }\) - gradient pola wektorowego.
- dla 1 - formy stowarzyszonej z polem wektorowym \(\displaystyle{ \vec{F} = x^3 \vec{i} + xy^{2} \vec{j} + e^{2z} \vec{k} }\)
\(\displaystyle{ d\alpha = d[ x^3 dx + xy^{2} dy + e^{2z}dz] = dx^3 \wedge dx + d xy^2 \wedge dy + de^2z \wedge dz = 3x^2 dx \wedge dx + ( y^2 dx +2xy dy) \wedge dy + ( 2e^{2z} dz) \wedge dz = \\ = y^2 dx \wedge dy +2xy dy \wedge dy + 2e^{2z} dz \wedge dz = y^2dx \wedge dy = curl(\vec{F})}\)
- dla 2 - formy stowarzyszonej z polem wektorowym \(\displaystyle{ \vec{F} = x^3 \vec{i} + xy^{2} \vec{j} + e^{2z}\vec{k} }\)
\(\displaystyle{ d\beta = d [ x^3 dx \wedge dy + xy^{2} dy \wedge dz + e^{2z} dz \wedge dx] = dx^3 dx \wedge dy + d xy^{2} dy \wedge dz + d e^{2z} dz \wedge dx = 3x^2 dx \wedge dx \wedge dy +\\ + [y^2 dx + 2xy dy]\wedge dy \wedge dz + 2e^{2z} dz\wedge dz \wedge dx = y^2dx\wedge dy \wedge dz= div(\vec{F}) }\)
Nie spotkałem się z takim zapisem sumy.
Stosowany jest zapis postaci kanonicznej formy
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i_{1} <...< i_{k}\leq n} \omega_{i_{1},...,i_{k}} dx^{i_{1}} \wedge ... \wedge dx^{i_{k}}.}\)
Różniczka \(\displaystyle{ \alpha = df(x,y, z) = x^3 dx + xy^{2} dy + e^{2z}dz }\) jest 1 - formą.
\(\displaystyle{ \beta = x^3 dx \wedge dy + xy^{2} dy \wedge dz + e^{2z} dz \wedge dx }\) - jest 2 - formą.
\(\displaystyle{ \eta = xy^{2}z dx \wedge dy \wedge dz }\) - jest 3 formą.
Gradient, wirowość (rotacja) , dywergencja pola wektorowego mogą być interpretowane jako formy różniczkowe.
Obliczając różniczkę zewnętrzną tych form otrzymujemy kolejno
- dla 0 - formy
\(\displaystyle{ df(x,y,z) = 3x^2 dx + 2xyz dy +2 e^{2z} dz = \left[ 3x^2, \ \ 2xyz , \ \ 2e^2z\right] \cdot [ dx. \ \ dy, \ \ dz ] = \nabla f \cdot \vec{ds} }\) - gradient pola wektorowego.
- dla 1 - formy stowarzyszonej z polem wektorowym \(\displaystyle{ \vec{F} = x^3 \vec{i} + xy^{2} \vec{j} + e^{2z} \vec{k} }\)
\(\displaystyle{ d\alpha = d[ x^3 dx + xy^{2} dy + e^{2z}dz] = dx^3 \wedge dx + d xy^2 \wedge dy + de^2z \wedge dz = 3x^2 dx \wedge dx + ( y^2 dx +2xy dy) \wedge dy + ( 2e^{2z} dz) \wedge dz = \\ = y^2 dx \wedge dy +2xy dy \wedge dy + 2e^{2z} dz \wedge dz = y^2dx \wedge dy = curl(\vec{F})}\)
- dla 2 - formy stowarzyszonej z polem wektorowym \(\displaystyle{ \vec{F} = x^3 \vec{i} + xy^{2} \vec{j} + e^{2z}\vec{k} }\)
\(\displaystyle{ d\beta = d [ x^3 dx \wedge dy + xy^{2} dy \wedge dz + e^{2z} dz \wedge dx] = dx^3 dx \wedge dy + d xy^{2} dy \wedge dz + d e^{2z} dz \wedge dx = 3x^2 dx \wedge dx \wedge dy +\\ + [y^2 dx + 2xy dy]\wedge dy \wedge dz + 2e^{2z} dz\wedge dz \wedge dx = y^2dx\wedge dy \wedge dz= div(\vec{F}) }\)
Nie spotkałem się z takim zapisem sumy.
Stosowany jest zapis postaci kanonicznej formy
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i_{1} <...< i_{k}\leq n} \omega_{i_{1},...,i_{k}} dx^{i_{1}} \wedge ... \wedge dx^{i_{k}}.}\)
-
shreder221
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Formy różniczkowe
Jaki jest algorytm? Bo na podstawie tego przykładu nie jestem w stanie tego dociec. Bo wynika z tego że:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) oraz 1 i 2-forma różnią się
a) obecnością \(\displaystyle{ \dd i}\) lub \(\displaystyle{ \dd i \dd j}\). Powiedziałbym że przy funkcji danej zmiennej jest różniczka danej zmiennej. Ale wtedy przy \(\displaystyle{ xy^{2}z }\)powinny być wszystkie 3 różniczki.
b) w środkowym wyrazach form wyeliminowano zmienną \(\displaystyle{ z}\). Jednocześnie zostawiono zmienną x która nie jest w żaden sposób wyróżniona względem z. Dlaczego?
\(\displaystyle{ \alpha}\) i gradient są reprezentowane tym samym wzorem \(\displaystyle{ df(x,y,z)}\) Choć w obu przypadkach działa to inaczej. Dlaczego?
Dlaczego 3 forma wygląda jak wygląda?
Użyłeś sformułowania. 1-forma stowarzyszona z Polem. To to nie jest tak że każda 1 i 2 forma są jakimś polem wektorowym?
I jeszcze pytanie czy da łoby się jakoś w miarę przystępnie wytłumaczyć czym są te formy?
\(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) oraz 1 i 2-forma różnią się
a) obecnością \(\displaystyle{ \dd i}\) lub \(\displaystyle{ \dd i \dd j}\). Powiedziałbym że przy funkcji danej zmiennej jest różniczka danej zmiennej. Ale wtedy przy \(\displaystyle{ xy^{2}z }\)powinny być wszystkie 3 różniczki.
b) w środkowym wyrazach form wyeliminowano zmienną \(\displaystyle{ z}\). Jednocześnie zostawiono zmienną x która nie jest w żaden sposób wyróżniona względem z. Dlaczego?
\(\displaystyle{ \alpha}\) i gradient są reprezentowane tym samym wzorem \(\displaystyle{ df(x,y,z)}\) Choć w obu przypadkach działa to inaczej. Dlaczego?
Dlaczego 3 forma wygląda jak wygląda?
Użyłeś sformułowania. 1-forma stowarzyszona z Polem. To to nie jest tak że każda 1 i 2 forma są jakimś polem wektorowym?
I jeszcze pytanie czy da łoby się jakoś w miarę przystępnie wytłumaczyć czym są te formy?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Formy różniczkowe
Nie ma tu żadnego algorytmu - wykorzystanie własności różniczki zewnętrznej formy \(\displaystyle{ dx \wedge dx = 0. }\)
Tak, mówimy, że różnią formami podstawowymi (bazowymi):
\(\displaystyle{ dx \ \ - 1\ \ formy }\)
\(\displaystyle{ dxdy = dx \wedge dy \ \ 2- }\) formy.
\(\displaystyle{ dxdydz = dx \wedge dy \wedge dz \ \ 3-}\) formy.
Z formą różniczkowymi można związać pola wektorowe i funkcje skalarne. Dla zrozumienia tego stwierdzenia proponuję następujący diagram:
\(\displaystyle{ (0- forma) \rightarrow d \ \ ( 1- forma) \rightarrow d \ \ (2- forma) \ \ \rightarrow d \ \ ( 3-forma) }\)
\(\displaystyle{ \downarrow \ \ funkcje \downarrow \rightarrow \nabla ( pola \ \ wektorowe) \downarrow \nabla\times (pola \ \ wektorowe) \downarrow
\nabla \cdot ( funkcje) }\)
\(\displaystyle{ \nabla -}\) - gradient, \(\displaystyle{ \nabla \times }\) - wirowość (rotacja), \(\displaystyle{ \nabla \cdot }\) - dywergencja
\(\displaystyle{ 1 - }\) forma, to różniczka zewnętrzna \(\displaystyle{ 0 - formy }\)
\(\displaystyle{ 3 - forma }\) wygląda tak po obliczeniu różniczki zewnętrznej dwuformy.
Formy różniczkowe to odwzorowania określone na pewnej gładkiej powierzchni (rozmaitości) \(\displaystyle{ H, }\) działające na wektory styczne tej powierzchni (rozmaitości).
Polecam przystępnie napisaną i przetłumaczoną na język polski pozycję, w której znajdzie Pan zastosowanie form różniczkowych w fizyce i technice
H. Flanders. Teoria Form Różniczkowych PWN 1969.
Tak, mówimy, że różnią formami podstawowymi (bazowymi):
\(\displaystyle{ dx \ \ - 1\ \ formy }\)
\(\displaystyle{ dxdy = dx \wedge dy \ \ 2- }\) formy.
\(\displaystyle{ dxdydz = dx \wedge dy \wedge dz \ \ 3-}\) formy.
Z formą różniczkowymi można związać pola wektorowe i funkcje skalarne. Dla zrozumienia tego stwierdzenia proponuję następujący diagram:
\(\displaystyle{ (0- forma) \rightarrow d \ \ ( 1- forma) \rightarrow d \ \ (2- forma) \ \ \rightarrow d \ \ ( 3-forma) }\)
\(\displaystyle{ \downarrow \ \ funkcje \downarrow \rightarrow \nabla ( pola \ \ wektorowe) \downarrow \nabla\times (pola \ \ wektorowe) \downarrow
\nabla \cdot ( funkcje) }\)
\(\displaystyle{ \nabla -}\) - gradient, \(\displaystyle{ \nabla \times }\) - wirowość (rotacja), \(\displaystyle{ \nabla \cdot }\) - dywergencja
\(\displaystyle{ 1 - }\) forma, to różniczka zewnętrzna \(\displaystyle{ 0 - formy }\)
\(\displaystyle{ 3 - forma }\) wygląda tak po obliczeniu różniczki zewnętrznej dwuformy.
Formy różniczkowe to odwzorowania określone na pewnej gładkiej powierzchni (rozmaitości) \(\displaystyle{ H, }\) działające na wektory styczne tej powierzchni (rozmaitości).
Polecam przystępnie napisaną i przetłumaczoną na język polski pozycję, w której znajdzie Pan zastosowanie form różniczkowych w fizyce i technice
H. Flanders. Teoria Form Różniczkowych PWN 1969.