Czy mogę prosić o sprawdzenie zadania - wychodzi mi co innego niż w odpowiedziach i nie potrafię znaleźć błędu.
Zadanie jest takie: obliczyć pole powierzchni części walca \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=1 }\), dla której \(\displaystyle{ \left| z\right| \le x }\).
Jak rysuję to wychodzi mi walecpowstały przez rozciągnięcie koła o środku w \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right) }\) i o promieniu 1 wzdłuż osi Z.
No i przecinam go tak jakby dwiema powierzchniami \(\displaystyle{ z=-x}\) i \(\displaystyle{ z=x}\), i biorę jego część zawartą pomiędzy tymi powierzchniami od strony dostatniej osi X.
Licząc na oko... wychodzi mi, że jest to powierzchnia 1/4 walca o promieniu 1 i wysokości 2 ( od -1 do 1 na osi Z) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{4}* 2 \pi*2 = \pi }\)
Jak liczę z całki powierzchniowej, z zamiany na całkę podwójną biorę \(\displaystyle{ x= \sqrt{1- y^{2} }}\) z czego \(\displaystyle{ \frac{ \partial x}{ \partial y } =- \frac{y}{ \sqrt{1- y^{2} } }}\) a \(\displaystyle{ \frac{ \partial x}{ \partial z} = 0}\)
Zamieniam całkę powierzchniową na podwójną według wzoru:
\(\displaystyle{ \int_{S}^{} dS = \int_{D}^{} \sqrt{1+ (fy)^{2} +(fz)^{2} } \dd y \dd z }\)
Gdzie obszarem D jest \(\displaystyle{ D1: y \in \left( 0,1\right) , z \in \left( y,1\right) + D2: y(-1;0) z(-y,1) +D3 i D4}\)
D3 i D4 takie same tylko pod osią Oy.
No i z tej całki też wychodzi mi \(\displaystyle{ \pi }\).
A w odpowiedziach jest 4.
Czy ktoś mógłby to zweryfikować i napisać czy ja coś mieszam czy w odpowiedziach jest pomyłka?
Całka powierzchniowa z części walca
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Całka powierzchniowa z części walca
Pole płata powierzchniowego
\(\displaystyle{ |S| = \iint_{(D) } |r'_{u} \times r'_{v}|du dv }\)
Współrzędne walcowe
\(\displaystyle{ \vec{r}(z,\theta) = [ z, \cos(\theta), \sin(\theta)] }\)
\(\displaystyle{ \vec{r'}_{|z} = [ 1, 0, 0 ] }\)
\(\displaystyle{ \vec{r'}_{|\theta}= [0, -\sin(\theta), \cos(\theta)] }\)
\(\displaystyle{ |\vec{r'}_{|z} \times \vec{r'}_{|\theta} | = \mid [ 1, 0, 0 ] \times [0, -\sin(\theta), \cos(\theta)] \mid = 1.}\)
\(\displaystyle{ |S| = \iint_{(D) } |r'_{|z} \times r'_{|\theta}|dz d\theta }\)
\(\displaystyle{ |S| = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos(\theta)}1 dz d\theta = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) d\theta = 4\left [ \sin(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right ) = 4\cdot 1 = 4.}\)
\(\displaystyle{ |S| = \iint_{(D) } |r'_{u} \times r'_{v}|du dv }\)
Współrzędne walcowe
\(\displaystyle{ \vec{r}(z,\theta) = [ z, \cos(\theta), \sin(\theta)] }\)
\(\displaystyle{ \vec{r'}_{|z} = [ 1, 0, 0 ] }\)
\(\displaystyle{ \vec{r'}_{|\theta}= [0, -\sin(\theta), \cos(\theta)] }\)
\(\displaystyle{ |\vec{r'}_{|z} \times \vec{r'}_{|\theta} | = \mid [ 1, 0, 0 ] \times [0, -\sin(\theta), \cos(\theta)] \mid = 1.}\)
\(\displaystyle{ |S| = \iint_{(D) } |r'_{|z} \times r'_{|\theta}|dz d\theta }\)
\(\displaystyle{ |S| = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos(\theta)}1 dz d\theta = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) d\theta = 4\left [ \sin(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right ) = 4\cdot 1 = 4.}\)