Całka powierzchniowa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
El3na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 2 kwie 2019, o 15:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Całka powierzchniowa

Post autor: El3na »

Mam do policzenia całkę powierzchniową niezorientowaną:
\(\displaystyle{ \iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) dS}\) gdzie \(\displaystyle{ \Sigma : y^2 + z^2 = 1 , z \ge 0 , 0 \le x \le 2}\)
Obszar do całkowania to walec względem x,licząc \(\displaystyle{ dS= \sqrt{\dfrac{1}{1-y^2}}}\),wydaje mi się,że trzeba tu wykorzystać współrzędne walcowe więc ograniczenie: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \dfrac{2}{\cos\sigma} , 0 \le \sigma \le 2\pi}\) i ostatecznie całka: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\sigma \int_{0}^{\dfrac{2}{\cos\sigma}} (r^2\cos^2 \sigma + 1)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{1-r^2\sin^2\sigma}} dr }\) jednak wynik nie zgadza się z książką i nie wiem gdzie jest błąd..
Ostatnio zmieniony 5 lut 2020, o 12:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Całka powierzchniowa

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \iint_{\Sigma} (x^2+ y^2 + z^2) dS , \ \ \Sigma =\left\{(x,y,z)\in \RR^3: 0\leq x \leq 2, \ \ y^2+ z^2 =1, \ \ z\geq 0 \right \} }\)

\(\displaystyle{ z^2 = 1 - y^2 \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ \iint_{\Sigma}(x^2 +y^2 + z^2)dS = \iint_{(G)}\left[ x^2 +y^2 +(1 - y^2) \right ] \sqrt{ 0^2 + \frac{y^2}{1-y^2} +1} dx dy =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\frac{x^2+ 1}{\sqrt{1-y^2}} dxdy }\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\frac{x^2+ 1}{\sqrt{1-y^2}} dxdy = \int_{-1}^{1} \frac{\frac{x^3}{3}+ x}{\sqrt{1-y^2}} \mid_{0}^{2} dy= \frac{14}{3}\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy = \frac{14}{3}\arcsin(y) \mid_{-1}^{1} = \frac{14}{3}\pi. }\)
ODPOWIEDZ