Dowód równości
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Dowód równości
Uczę się właśnie mechaniki płynów i przez ten element nie jestem w stanie przejść dalej bo kompletnie nie rozumiem skąd wynika taka zależność
Byłby ktoś w stanie mi to wyjaśnić przeprowadzając dowód?
\(\displaystyle{
\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} =\nabla\left( \frac{1}{2} \vec{v} \right) +\nabla \times \vec{v} \times \vec{v}}\)
Byłby ktoś w stanie mi to wyjaśnić przeprowadzając dowód?
\(\displaystyle{
\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} =\nabla\left( \frac{1}{2} \vec{v} \right) +\nabla \times \vec{v} \times \vec{v}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Dowód równości
Zerknij na to klik nie jest to dokładnie dowód Twojego wzoru ale opisałem tam jak iloczyn wektorowy zastąpić notacją tensorową i zwężać to deltami Kroneckera. Dawno się w to nie bawiłem ale pamiętam, że to jest świetne narzędzie do takich dowodów bo alternatywą jest raczej żmudne rozpisywanie stron i porównanie ich po współrzędnych.To też się przyda
https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Leviego-Civity
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Dowód równości
Moze mi ktoś polecić jakąś książke w której znajdę wyjaśnienie jakichś działań na wektorach podobnych do tego?
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Dowód równości
Równość wynikająca z różniczkowych równań przepływu nie ma nic wspólnego z iloczynem mieszanym i wektorowym Levi-Civita.
Po lewej stronie równania występuje iloczyn skalarny wektora i jego gradientu. Z własności iloczynu skalarnego i gradientu wynika, że
\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla)\vec{w} = \nabla (\vec{v}\cdot \vec{w}) = \vec{w}\times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{w}\cdot \nabla \vec{v} + \vec{v}\times (\nabla \times \vec{w} ) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{w} }\)
Stąd dla \(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{w} }\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2= \vec{v} \times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{v} \ \ (1) }\)
Jeśli przepływ jest niewirowy czyli potencjalny, \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\) i z równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla) \vec{v} = \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2 = \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2 }\)
Po prawej stronie występuje rotacja iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} \times \vec{v} = 0 }\) ( bo \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\)) i powinno być \(\displaystyle{ \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2. }\)
Namawiam do podręczników:
Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. Wydanie III PWN Warszawa 1976
oraz
Ryszard Gryboś. Podstawy Mechaniki Płynów Część 1 Kinematyka Dynamika cieczy i gazów Hydrostatyka PWN Warszawa 1998.
Po lewej stronie równania występuje iloczyn skalarny wektora i jego gradientu. Z własności iloczynu skalarnego i gradientu wynika, że
\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla)\vec{w} = \nabla (\vec{v}\cdot \vec{w}) = \vec{w}\times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{w}\cdot \nabla \vec{v} + \vec{v}\times (\nabla \times \vec{w} ) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{w} }\)
Stąd dla \(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{w} }\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2= \vec{v} \times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{v} \ \ (1) }\)
Jeśli przepływ jest niewirowy czyli potencjalny, \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\) i z równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla) \vec{v} = \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2 = \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2 }\)
Po prawej stronie występuje rotacja iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} \times \vec{v} = 0 }\) ( bo \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\)) i powinno być \(\displaystyle{ \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2. }\)
Namawiam do podręczników:
Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. Wydanie III PWN Warszawa 1976
oraz
Ryszard Gryboś. Podstawy Mechaniki Płynów Część 1 Kinematyka Dynamika cieczy i gazów Hydrostatyka PWN Warszawa 1998.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Dowód równości
Książka rzeczywiście dobra, sporo innych rzeczy udało mi się dzięki niej lepiej zrozumieć
Jednak nadal nie ogarniam tych przekształceń. Spróbuje rozpisać pierwszą równość na składowych bo uż na pierwszym kroku coś mi nie pasuje. Może jak mi wyjaśnicie gdzie tutaj robię błąd to zrozumiem resztę.
\(\displaystyle{ \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{w} = \left( v_{x} \frac{ \partial }{ \partial x}+ v_{y} \frac{ \partial }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial }{ \partial z}\right) \left[ w_{x} , w_{y} , w_{z} \right] = \left[ v_{x} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial x} +v_{y} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial z} ; ... ; ... \right]
}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} \cdot \vec{w}=v _{x}w _{x} +v _{y} w _{y} +v _{z} w _{z}
}\)
\(\displaystyle{ \nabla\left( \vec{v} \cdot \vec{w}\right) = \left[ \frac{ \partial \left( v _{x} w _{x} \right) }{ \partial x} + \frac{ \partial \left( v _{y} w _{y} \right) }{ \partial x}+ \frac{ \partial \left( v _{z} w _{z} \right) }{ \partial x};...;...\right]}\)
Wiem że w taki sposób się długo rozpisuje i nie jest to zbyt efektywna metoda ale chcialbym to zrozumieć w 'łopatologiczny' sposób.
Zrobiłem coś źle w tych obliczeniach? Jeśli nie to jak dalej rozpisać ktorąś ze stron żeby były sobie równe?
Jednak nadal nie ogarniam tych przekształceń. Spróbuje rozpisać pierwszą równość na składowych bo uż na pierwszym kroku coś mi nie pasuje. Może jak mi wyjaśnicie gdzie tutaj robię błąd to zrozumiem resztę.
\(\displaystyle{ \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{w} = \left( v_{x} \frac{ \partial }{ \partial x}+ v_{y} \frac{ \partial }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial }{ \partial z}\right) \left[ w_{x} , w_{y} , w_{z} \right] = \left[ v_{x} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial x} +v_{y} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial z} ; ... ; ... \right]
}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} \cdot \vec{w}=v _{x}w _{x} +v _{y} w _{y} +v _{z} w _{z}
}\)
\(\displaystyle{ \nabla\left( \vec{v} \cdot \vec{w}\right) = \left[ \frac{ \partial \left( v _{x} w _{x} \right) }{ \partial x} + \frac{ \partial \left( v _{y} w _{y} \right) }{ \partial x}+ \frac{ \partial \left( v _{z} w _{z} \right) }{ \partial x};...;...\right]}\)
Wiem że w taki sposób się długo rozpisuje i nie jest to zbyt efektywna metoda ale chcialbym to zrozumieć w 'łopatologiczny' sposób.
Zrobiłem coś źle w tych obliczeniach? Jeśli nie to jak dalej rozpisać ktorąś ze stron żeby były sobie równe?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Dowód równości
1) Stąd wniosek, że chodzi o równania przepływu? To, że równanie pojawia się w mechanice płynów nie oznacza, że jest to prawda tylko na gruncie mechaniki płynów a jeśli autor nie podaje żadnych założeni upraszczających (w stylu zerowa ściśliwość itp.) to niedopuszczalne jest zakładanie rzeczy które zejść nie muszą.Równość wynikająca z różniczkowych równań przepływu nie ma nic wspólnego z iloczynem mieszanym i wektorowym Levi-Civita
2) Jak wektorowa równość w dodatku z iloczynem wektorowym może "nie mieć nic wspólnego z symbolem Levi-Civita"? Iloczyn wektorowy można wręcz zdefiniować symbolem Levi-Civita.
Wystarczy spojrzeć na
https://math.stackexchange.com/questions/217332/proving-vector-calculus-identity-nabla-times-mathbf-a-times-mathbf-b-cd
by przekonać się, że \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} \times \vec{v} = 0}\). A potem na https://math.stackexchange.com/questions/2835768/proof-of-vector-identity-nabla-times-b-times-b-frac12-nabla-b2?rq=1
by przekonać się o tym że wnioski są takie same i o użyteczności symbolu Levi-Civita w dowodzeniu wektorowych zależności.Dodano po 8 minutach 41 sekundach:
Powołujesz się na pewne własności które oczywiste nie są by udowodnić inną nieoczywistą własność. Za pomocą symbolu Levi-Civita udowodniono równanie \(\displaystyle{ (1)}\)Po lewej stronie równania występuje iloczyn skalarny wektora i jego gradientu. Z własności iloczynu skalarnego i gradientu wynika, że
https://math.stackexchange.com/questions/942082/prove-frac12-mathbf-nabla-u-cdot-u-u-times-nabla-times-u-u?rq=1
na które się powołujesz.-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Dowód równości
Zadanie to pochodzi z mechaniki płynów ale o założeniach upraszczających nie ma nic wspomnianego. Wzór ten jest zastosowany we wzorze na przyśpieszenie cząstek w płynie i jest podane że dowód tej tożsamości zostawiony dla studentów jako ćwiczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Dowód równości
Domyśliłem się, że napisana przez Pana równość do sprawdzenia jest szczególnym przypadkiem \(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{w} }\) ogólnej równości na przyśpieszenie cząstek w płynie.