Dowód równości

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
danielbr3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Dowód równości

Post autor: danielbr3 »

Uczę się właśnie mechaniki płynów i przez ten element nie jestem w stanie przejść dalej bo kompletnie nie rozumiem skąd wynika taka zależność
Byłby ktoś w stanie mi to wyjaśnić przeprowadzając dowód?
\(\displaystyle{
\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} =\nabla\left( \frac{1}{2} \vec{v} \right) +\nabla \times \vec{v} \times \vec{v}}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód równości

Post autor: Janusz Tracz »

Zerknij na to klik nie jest to dokładnie dowód Twojego wzoru ale opisałem tam jak iloczyn wektorowy zastąpić notacją tensorową i zwężać to deltami Kroneckera. Dawno się w to nie bawiłem ale pamiętam, że to jest świetne narzędzie do takich dowodów bo alternatywą jest raczej żmudne rozpisywanie stron i porównanie ich po współrzędnych.To też się przyda https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Leviego-Civity
danielbr3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Dowód równości

Post autor: danielbr3 »

Moze mi ktoś polecić jakąś książke w której znajdę wyjaśnienie jakichś działań na wektorach podobnych do tego?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dowód równości

Post autor: janusz47 »

Równość wynikająca z różniczkowych równań przepływu nie ma nic wspólnego z iloczynem mieszanym i wektorowym Levi-Civita.

Po lewej stronie równania występuje iloczyn skalarny wektora i jego gradientu. Z własności iloczynu skalarnego i gradientu wynika, że

\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla)\vec{w} = \nabla (\vec{v}\cdot \vec{w}) = \vec{w}\times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{w}\cdot \nabla \vec{v} + \vec{v}\times (\nabla \times \vec{w} ) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{w} }\)

Stąd dla \(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{w} }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2= \vec{v} \times (\nabla \times \vec{v}) + \vec{v}\cdot \nabla \vec{v} \ \ (1) }\)

Jeśli przepływ jest niewirowy czyli potencjalny, \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\) i z równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ (\vec{v}\cdot \nabla) \vec{v} = \frac{1}{2}\nabla \vec{v}^2 = \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2 }\)

Po prawej stronie występuje rotacja iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} \times \vec{v} = 0 }\) ( bo \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} = 0 }\)) i powinno być \(\displaystyle{ \nabla \frac{1}{2}\vec{v}^2. }\)

Namawiam do podręczników:

Edmund Karaśkiewicz. Zarys Teorii Wektorów i Tensorów. Wydanie III PWN Warszawa 1976

oraz

Ryszard Gryboś. Podstawy Mechaniki Płynów Część 1 Kinematyka Dynamika cieczy i gazów Hydrostatyka PWN Warszawa 1998.
danielbr3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Dowód równości

Post autor: danielbr3 »

Książka rzeczywiście dobra, sporo innych rzeczy udało mi się dzięki niej lepiej zrozumieć :D

Jednak nadal nie ogarniam tych przekształceń. Spróbuje rozpisać pierwszą równość na składowych bo uż na pierwszym kroku coś mi nie pasuje. Może jak mi wyjaśnicie gdzie tutaj robię błąd to zrozumiem resztę.


\(\displaystyle{ \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{w} = \left( v_{x} \frac{ \partial }{ \partial x}+ v_{y} \frac{ \partial }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial }{ \partial z}\right) \left[ w_{x} , w_{y} , w_{z} \right] = \left[ v_{x} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial x} +v_{y} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial y}+v_{z} \frac{ \partial w _{x} }{ \partial z} ; ... ; ... \right]
}\)


\(\displaystyle{ \vec{v} \cdot \vec{w}=v _{x}w _{x} +v _{y} w _{y} +v _{z} w _{z}
}\)


\(\displaystyle{ \nabla\left( \vec{v} \cdot \vec{w}\right) = \left[ \frac{ \partial \left( v _{x} w _{x} \right) }{ \partial x} + \frac{ \partial \left( v _{y} w _{y} \right) }{ \partial x}+ \frac{ \partial \left( v _{z} w _{z} \right) }{ \partial x};...;...\right]}\)

Wiem że w taki sposób się długo rozpisuje i nie jest to zbyt efektywna metoda ale chcialbym to zrozumieć w 'łopatologiczny' sposób.
Zrobiłem coś źle w tych obliczeniach? Jeśli nie to jak dalej rozpisać ktorąś ze stron żeby były sobie równe?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód równości

Post autor: Janusz Tracz »

Równość wynikająca z różniczkowych równań przepływu nie ma nic wspólnego z iloczynem mieszanym i wektorowym Levi-Civita
1) Stąd wniosek, że chodzi o równania przepływu? To, że równanie pojawia się w mechanice płynów nie oznacza, że jest to prawda tylko na gruncie mechaniki płynów a jeśli autor nie podaje żadnych założeni upraszczających (w stylu zerowa ściśliwość itp.) to niedopuszczalne jest zakładanie rzeczy które zejść nie muszą.
2) Jak wektorowa równość w dodatku z iloczynem wektorowym może "nie mieć nic wspólnego z symbolem Levi-Civita"? Iloczyn wektorowy można wręcz zdefiniować symbolem Levi-Civita.

Wystarczy spojrzeć na https://math.stackexchange.com/questions/217332/proving-vector-calculus-identity-nabla-times-mathbf-a-times-mathbf-b-cd by przekonać się, że \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{v} \times \vec{v} = 0}\). A potem na https://math.stackexchange.com/questions/2835768/proof-of-vector-identity-nabla-times-b-times-b-frac12-nabla-b2?rq=1 by przekonać się o tym że wnioski są takie same i o użyteczności symbolu Levi-Civita w dowodzeniu wektorowych zależności.

Dodano po 8 minutach 41 sekundach:
Po lewej stronie równania występuje iloczyn skalarny wektora i jego gradientu. Z własności iloczynu skalarnego i gradientu wynika, że
Powołujesz się na pewne własności które oczywiste nie są by udowodnić inną nieoczywistą własność. Za pomocą symbolu Levi-Civita udowodniono równanie \(\displaystyle{ (1)}\) https://math.stackexchange.com/questions/942082/prove-frac12-mathbf-nabla-u-cdot-u-u-times-nabla-times-u-u?rq=1 na które się powołujesz.
danielbr3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Dowód równości

Post autor: danielbr3 »

Zadanie to pochodzi z mechaniki płynów ale o założeniach upraszczających nie ma nic wspomnianego. Wzór ten jest zastosowany we wzorze na przyśpieszenie cząstek w płynie i jest podane że dowód tej tożsamości zostawiony dla studentów jako ćwiczenie.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dowód równości

Post autor: janusz47 »

Domyśliłem się, że napisana przez Pana równość do sprawdzenia jest szczególnym przypadkiem \(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{w} }\) ogólnej równości na przyśpieszenie cząstek w płynie.
ODPOWIEDZ