Witam mam do rozwiązania podane poniżej zadanie, przekopałem mnóstwo zadań z obliczania strumienia pola wektorowego, ale nie mogę zrozumieć w jaki sposób powinienem zabrać się za te zadanie. Chciałem skorzystać z współrzędnych sferycznych, ale doszedłem do wniosku, że jest to błędne rozumowanie. Będę wdzięczny za każdą pomoc!
Oblicz strumień pola wektorowego \(\displaystyle{ f}\) przez powierzchnię \(\displaystyle{ S}\) z wybraną przez siebie orientacją
\(\displaystyle{ f(x, y, z) = (3x + 2y, −y + 3z, z − x)}\)
\(\displaystyle{ S}\) - trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)}\).
Oblicz strumień pola wektorowego
-
dawidcc
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 maja 2019, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz strumień pola wektorowego
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 19:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz strumień pola wektorowego
Klasyczne Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego .
Równanie odcinkowe zewnętrznej powierzchni trójkąta \(\displaystyle{ T }\) (rysunek)
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 }\)
Strumień wektora pola
\(\displaystyle{ \vec{\phi}( x, y, z) = \iint_{T} (3x +2y)dydz + (-y +3z) dzdx + (z-x) dydx =\int\int\int_{V} (3-1+1)dxdydz =3\int_{0}^{1}dx \int_{0}^{2 -2z}dy\int_{0}^{3- 2x -\frac{3}{2}y} dz = ... }\)
Proszę sprawdzić wynik, obliczając całkę jako całkę powierzchniową - skierowaną.
Dodano po 32 minutach 40 sekundach:
Granica górna w środkowej całce \(\displaystyle{ 3 -2x. }\)
Równanie odcinkowe zewnętrznej powierzchni trójkąta \(\displaystyle{ T }\) (rysunek)
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 }\)
Strumień wektora pola
\(\displaystyle{ \vec{\phi}( x, y, z) = \iint_{T} (3x +2y)dydz + (-y +3z) dzdx + (z-x) dydx =\int\int\int_{V} (3-1+1)dxdydz =3\int_{0}^{1}dx \int_{0}^{2 -2z}dy\int_{0}^{3- 2x -\frac{3}{2}y} dz = ... }\)
Proszę sprawdzić wynik, obliczając całkę jako całkę powierzchniową - skierowaną.
Dodano po 32 minutach 40 sekundach:
Granica górna w środkowej całce \(\displaystyle{ 3 -2x. }\)
-
dawidcc
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 maja 2019, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Re: Oblicz strumień pola wektorowego
Dziękuję bardzo za pomoc, tylko nurtuje mnie jedna rzecz, w jaki sposób obliczamy zakresy dla poszczególnych całek?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz strumień pola wektorowego
Jeśli weźmiemy pod uwagę równanie odcinkowe płaszczyzny utworzonej przez trójkąt
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1, }\)
to mnożąc obie strony tego równania przez \(\displaystyle{ 6,}\) otrzymujemy jej równanie ogólne
\(\displaystyle{ 6x + 3y + 2z = 6. }\)
Przecina ona osie prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ \RR^3 }\) w punktach:
Oś \(\displaystyle{ Ox }\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,0, 0) }\)
Oś \(\displaystyle{ Oy }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,2, 0) }\)
Oś \(\displaystyle{ Oz }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0, 3) }\)
Płaszczyzna ta jest jedną ze ścian zewnętrznych czworościanu \(\displaystyle{ C, }\) który można nierównościami:
\(\displaystyle{ C = \left\{ (x,y,z)\in \RR^3: 0\leq x \leq 1 \wedge 0\leq y \leq 2 -2x \wedge 0 \leq z \leq 3 - 2x - \frac{3}{2}y \right \}.}\)
Stąd wynika przyjęcie takich zakresów granic całkowania w całce potrójnej z dywergencji pola z objętości \(\displaystyle{ V }\) czworościanu \(\displaystyle{ C.}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1, }\)
to mnożąc obie strony tego równania przez \(\displaystyle{ 6,}\) otrzymujemy jej równanie ogólne
\(\displaystyle{ 6x + 3y + 2z = 6. }\)
Przecina ona osie prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ \RR^3 }\) w punktach:
Oś \(\displaystyle{ Ox }\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,0, 0) }\)
Oś \(\displaystyle{ Oy }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,2, 0) }\)
Oś \(\displaystyle{ Oz }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0, 3) }\)
Płaszczyzna ta jest jedną ze ścian zewnętrznych czworościanu \(\displaystyle{ C, }\) który można nierównościami:
\(\displaystyle{ C = \left\{ (x,y,z)\in \RR^3: 0\leq x \leq 1 \wedge 0\leq y \leq 2 -2x \wedge 0 \leq z \leq 3 - 2x - \frac{3}{2}y \right \}.}\)
Stąd wynika przyjęcie takich zakresów granic całkowania w całce potrójnej z dywergencji pola z objętości \(\displaystyle{ V }\) czworościanu \(\displaystyle{ C.}\)