Całka po okręgu

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
endriu86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 14 cze 2018, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Całka po okręgu

Post autor: endriu86 »

Oblicz całkę: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sin z}{\left( z-1\right)\left( z-3\right) }dz }\) dla \(\displaystyle{ K\left( 0,2\right) }\) okrąg o \(\displaystyle{ r=2}\) i środku w \(\displaystyle{ z=0}\).
Ostatnio zmieniony 3 paź 2019, o 01:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całka po okręgu

Post autor: Premislav »

Orientacja dodatnia? Zakładam, że tak. Funkcja \(\displaystyle{ f(z)=\frac{\sin z}{(z-1)(z-3)}}\) jest holomorficzna w pewnym otwartym otoczeniu \(\displaystyle{ K(0,2)}\) za wyjątkiem punktu \(\displaystyle{ z_{0}=1}\), w którym ma ona biegun jednokrotny, zatem ze wzoru całkowego Cauchy'ego mamy
\(\displaystyle{ \int_{\partial K(0,2)}\frac{\sin z}{(z-1)(z-3)}\mbox{d}z=2\pi i \cdot \frac{\sin (1)}{1-3}=-\pi i \sin (1)}\),
przy założeniu, że brzeg ten jest zorientowany dodatnio.
ODPOWIEDZ