Sprawdzenie twierdzenia Stokesa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Sprawdzenie twierdzenia Stokesa

Post autor: janusz47 » 2 sie 2019, o 17:59

Sprawdzimy twierdzenie Stokesa dla formy

\(\omega^{(2)}= y^2\vec{i}+ x\vec{j} + z^2\vec{k}.\)

oraz obszaru z brzegiem

\(S = \{(x,y,z)\in \RR^3: z = x^2+y^2 \wedge 0\leq z \leq 1\}.\)

Równanie Stokesa:

\(\int_{S_{k}}d\omega^{(k-1)} = \int_{\partial S_{k}}\omega^{(k-1)} \ \ (1)\)

gdzie

\(S_{k}\) oznacza pewną gładką \(k\) wymiarową orientowalną powierzchnię zawartą w \(\RR^{n}, (k\leq n}), \partial S_{k}\) jest jej \(k-1\) wymiarowym brzegiem, a \(\omega^{(k-1)}\) formą różniczkową stopnia \(k-1.\)

Rozwiązanie

W tym zadaniu musimy policzyć niezależnie lewą i prawą stronę równania i sprawdzić, czy są sobie równe. W przypadku trójwymiarowej powierzchni \(S_{3}\) zawartej w \(\RR^3,\) równaniu temu, moglibyśmy też nadać postać wektorową:

\(\int_{S_{3}} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}d^{3}r = \int_{\partial S_{3}}\vec{E}\cdot \vec{dS}.\)

przy czym brzeg powierzchni paraboloidy kołowej

\(\partial S_{3} = \partial S_{1} \cup \partial S_{2}.\)

Posłużymy się w zadaniu formami różniczkowymi.

Musimy zatem sprawdzić, czy

\(\int_{S_{3}} d\omega^{(2)} = \int_{\partial S_{1}}\omega^{(2)} + \int_{\partial S_{2}}\omega^{(2)} \ \ (2)\)

Różniczka formy

\(d\omega^{(2)} = ( 0, 0, 2z)dx \wedge dy \wedge dz.\)

Parametryzacja powierzchni \(S_{3}\)

\(x(r, \phi, u) = r\cos(\phi), \ \ y(r, \phi, u) = r\sin(\phi), \ \ z(r, \phi, u) = u^2.\)

\(0< r < 1, \ \ 0 < \phi < 2\pi, \ \ 0 < u < 1.\)

\(Jac(r,\phi, u) =2 r>0.\)

\(\int_{S_{3}} d\omega^{(2)} = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{1} 2z(r,\phi,u)Jac(r,\phi,u)du = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}2rdr \int_{0}^{1}2udu =\\ = 2\pi.\)

Teraz przejdziemy do brzegu, rozpoczynając rozważania od górnego brzegu paraboloidy \(\partial S_{1}\)

\(x(r, \phi) = r\cos(\phi), \ \ y(r,\phi) = r\sin(\phi), \ \ z(r,\phi) = 1\)

Wektory styczne:

\(\vec{t_{r}} = \cos(\phi)\vec{i} + \sin(\phi)\vec{j}\)

\(\vec{t_{\phi}}= -r\sin(\phi)\vec{i} +r\cos(\phi)\vec{j}\)

\(\vec{t_{r}}\times \vec{t_{\phi}} = ( \cos(\phi)\vec{i} + \sin(\phi)\vec{j})\times ( -r\sin(\phi)\vec{i} +r\cos(\phi)\vec{j}) = r\vec{k}.\)

\(\int_{\partial S_{1}}\omega^{(2)} = \int_{\partial S_{1}}z^2dx \wedge dy =\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}1^2 Jac(r, \phi)dr = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}rdr =\pi.\)

Rzutujemy powierzchnię boczną \(S_{2}\) paraboloidy na płaszczyznę \(OXY.\)

\(x(r, \phi ) = \cos(\phi), \ \ y(r, \phi) = \sin(\phi), \ \ z(r,\phi) =0\)

\(r =1 , \ \ 0 < \phi < 2\pi .\)

\(\int_{\partial S_{2}} y^2 dx + xdy +0dz = \int_{0}^{2\pi} (\sin^2 \phi)(-\sin \phi)d\phi +\cos^2 \phi d\phi +0d\phi =\\ = \int_{0}^{2\pi} (-\sin^3 \phi + \cos^2 \phi )d \phi = \int_{0}^{2\pi}\cos^2 \phi d\phi = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(\cos(2\phi) +1)d\phi = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(2\phi)}{2}+\phi \right)_{0}^{2\pi}=\\ = \pi.\)

Równość \((2)\) jest spełniona - co mieliśmy sprawdzić.

ODPOWIEDZ