Sprawdzenie twierdzenia Stokesa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5551
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1213 razy

Sprawdzenie twierdzenia Stokesa

Post autor: janusz47 » 2 sie 2019, o 17:59

Sprawdzimy twierdzenie Stokesa dla formy

\(\displaystyle{ \omega^{(2)}= y^2\vec{i}+ x\vec{j} + z^2\vec{k}.}\)

oraz obszaru z brzegiem

\(\displaystyle{ S = \{(x,y,z)\in \RR^3: z = x^2+y^2 \wedge 0\leq z \leq 1\}.}\)

Równanie Stokesa:

\(\displaystyle{ \int_{S_{k}}d\omega^{(k-1)} = \int_{\partial S_{k}}\omega^{(k-1)} \ \ (1)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ S_{k}}\) oznacza pewną gładką \(\displaystyle{ k}\) wymiarową orientowalną powierzchnię zawartą w \(\displaystyle{ \RR^{n}, (k\leq n}), \partial S_{k}}\) jest jej \(\displaystyle{ k-1}\) wymiarowym brzegiem, a \(\displaystyle{ \omega^{(k-1)}}\) formą różniczkową stopnia \(\displaystyle{ k-1.}\)

Rozwiązanie

W tym zadaniu musimy policzyć niezależnie lewą i prawą stronę równania i sprawdzić, czy są sobie równe. W przypadku trójwymiarowej powierzchni \(\displaystyle{ S_{3}}\) zawartej w \(\displaystyle{ \RR^3,}\) równaniu temu, moglibyśmy też nadać postać wektorową:

\(\displaystyle{ \int_{S_{3}} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}d^{3}r = \int_{\partial S_{3}}\vec{E}\cdot \vec{dS}.}\)

przy czym brzeg powierzchni paraboloidy kołowej

\(\displaystyle{ \partial S_{3} = \partial S_{1} \cup \partial S_{2}.}\)

Posłużymy się w zadaniu formami różniczkowymi.

Musimy zatem sprawdzić, czy

\(\displaystyle{ \int_{S_{3}} d\omega^{(2)} = \int_{\partial S_{1}}\omega^{(2)} + \int_{\partial S_{2}}\omega^{(2)} \ \ (2)}\)

Różniczka formy

\(\displaystyle{ d\omega^{(2)} = ( 0, 0, 2z)dx \wedge dy \wedge dz.}\)

Parametryzacja powierzchni \(\displaystyle{ S_{3}}\)

\(\displaystyle{ x(r, \phi, u) = r\cos(\phi), \ \ y(r, \phi, u) = r\sin(\phi), \ \ z(r, \phi, u) = u^2.}\)

\(\displaystyle{ 0< r < 1, \ \ 0 < \phi < 2\pi, \ \ 0 < u < 1.}\)

\(\displaystyle{ Jac(r,\phi, u) =2 r>0.}\)

\(\displaystyle{ \int_{S_{3}} d\omega^{(2)} = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{1} 2z(r,\phi,u)Jac(r,\phi,u)du = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}2rdr \int_{0}^{1}2udu =\\ = 2\pi.}\)

Teraz przejdziemy do brzegu, rozpoczynając rozważania od górnego brzegu paraboloidy \(\displaystyle{ \partial S_{1}}\)

\(\displaystyle{ x(r, \phi) = r\cos(\phi), \ \ y(r,\phi) = r\sin(\phi), \ \ z(r,\phi) = 1}\)

Wektory styczne:

\(\displaystyle{ \vec{t_{r}} = \cos(\phi)\vec{i} + \sin(\phi)\vec{j}}\)

\(\displaystyle{ \vec{t_{\phi}}= -r\sin(\phi)\vec{i} +r\cos(\phi)\vec{j}}\)

\(\displaystyle{ \vec{t_{r}}\times \vec{t_{\phi}} = ( \cos(\phi)\vec{i} + \sin(\phi)\vec{j})\times ( -r\sin(\phi)\vec{i} +r\cos(\phi)\vec{j}) = r\vec{k}.}\)

\(\displaystyle{ \int_{\partial S_{1}}\omega^{(2)} = \int_{\partial S_{1}}z^2dx \wedge dy =\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}1^2 Jac(r, \phi)dr = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}rdr =\pi.}\)

Rzutujemy powierzchnię boczną \(\displaystyle{ S_{2}}\) paraboloidy na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY.}\)

\(\displaystyle{ x(r, \phi ) = \cos(\phi), \ \ y(r, \phi) = \sin(\phi), \ \ z(r,\phi) =0}\)

\(\displaystyle{ r =1 , \ \ 0 < \phi < 2\pi .}\)

\(\displaystyle{ \int_{\partial S_{2}} y^2 dx + xdy +0dz = \int_{0}^{2\pi} (\sin^2 \phi)(-\sin \phi)d\phi +\cos^2 \phi d\phi +0d\phi =\\ = \int_{0}^{2\pi} (-\sin^3 \phi + \cos^2 \phi )d \phi = \int_{0}^{2\pi}\cos^2 \phi d\phi = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(\cos(2\phi) +1)d\phi = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(2\phi)}{2}+\phi \right)_{0}^{2\pi}=\\ = \pi.}\)

Równość \(\displaystyle{ (2)}\) jest spełniona - co mieliśmy sprawdzić.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ